Question

17．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，D是斜边上AB上任一点，AE⊥CD于E，BF⊥CD交CD的延长线于F，CH⊥AB于H点，交AE于G．
（1）试说明AH=BH
（2）求证：BD=CG．
（3）探索AE与EF、BF之间的数量关系．

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角形的三线合一证明；
（2）证明△ACG≌△CBD，根据全等三角形的性质证明；
（3）证明△ACE≌△CBF即可．

解答 证明：（1）∵AC=BC，CH⊥AB，
∴AH=BH；
（2）∵ABC为等腰直角三角形，CH⊥AB，
∴∠ACG=45°，
∵∠CAG+∠ACE=90°，∠BCF+∠ACE=90°，
∴∠CAG=∠BCF，
在△ACG和△CBD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CAG=∠BCD}\\{AC=CB}\\{∠ACG=∠CBD}\end{array}\right.$，
∴△ACG≌△CBD（ASA），
∴BD=CG；
（3）AE=EF+BF，
理由如下：在△ACE和△CBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CAE=∠BCF}\\{∠AEC=∠CFB}\\{AC=CB}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△CBF，
∴AE=CF，CE=BF，
∴AE=CF=CE+EF=BF+EF．

点评 本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．