Question

【题目】如图在给定的一张平行四边形纸片上作一个菱形，甲、乙两人的作法如下： 甲：连接AC，作AC的垂直平分线MN分别交AD，AC，BC于M，O，N，连接AN，CM，则四边形ANCM是菱形．
乙：分别作∠BAD，∠ABC的平分线AE，BF，分别交BC，AD于E，F，连接EF，则四边形ABEF是菱形．
根据两人的作法请分别做出判断，并证明．

Answer 1

【答案】解：甲、乙做法都正确． 甲做法：
证明：∵MN垂直平分AC，
∴AO=CO，∠AOM=90°，
又∵AD∥BC，
∴∠MAC=∠NCA，
在△AOPM和△CON中，
，
∴△AOPM≌△CON，
∴OM=ON，
∴AC和MN互相垂直平分，
∴四边形ANCM是菱形；
乙做法：
证明：∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠EAF，
又∵AD∥BC，
∴∠EAF=∠BEA，
∴∠BAE=∠BEA
∴AB=BE，
同理可得AB=AF，
∴BE=AF，
∵BE∥AF，
∴四边形ABEF为平行四边形
又∵AB=BE，
∴四边形ANCM是菱形
【解析】对于甲做法：利用MN垂直平分AC得到AO=CO，∠AOM=90°，再由AD∥BC得到∠MAC=∠NCA，则可证明△AOPM≌△CON，所以OM=ON，于是根据菱形的判定方法可判断四边形ANCM是菱形； 对于乙做法：由AE平分∠BAD得到∠BAE=∠EAF，再由AD∥BC得到∠EAF=∠BEA，则∠BAE=∠BEA，所以AB=BE，同理可得AB=AF，所以BE=AF，于是可证明四边形ABEF为平行四边形，再加上邻边相等可判断四边形ANCM是菱形．
【考点精析】本题主要考查了菱形的判定方法的相关知识点，需要掌握任意一个四边形，四边相等成菱形；四边形的对角线，垂直互分是菱形．已知平行四边形，邻边相等叫菱形；两对角线若垂直，顺理成章为菱形才能正确解答此题．