Question

如图所示，已知△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O交BC于D，交AC于E，过D作DF⊥AC于F．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）连接DE，若AB=AC=13，BC=10，求△CDE的面积．

Answer 1

分析：（1）连接OD，AD，根据直径所对的圆周角是直角以及AB=AC，得到DB=DC，OD是△ABC的中位线，所以OD∥AC，再由DF⊥AC得到DF⊥OD，可以证明DF是⊙O的切线．
（2）利用两角对应相等，可以证明△CDE∽△CAB，然后用相似三角形面积的比等于相似比的平方可以求出△CDE的面积．

解答：解：（1）连接OD，AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴DB=DC，
∵OA=OB，
∴OD是△ABC的中位线，
即：OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴DF⊥OD．
∴DF是⊙O的切线．

（2）∵ABDE是⊙O的内接四边形，
∴∠DEC=∠B，又∠C为公共角，
∴△CDE∽△CAB，
∵AB=13，BC=10，由（1）得AD⊥BC，
∴CD=5，
∴AD=12．
S_△ABC=

1

2

BC•AD=

1

2

×10×12=60．
∵△CDE∽△CAB，
∴

DE

AB

=

CD

CA

=

5

13

．
∴S_△CDE：S_△CAB=25：169．
∴S_△CDE=60×

25

169

=

1500

169

．

点评：本题考查的是切线的判定，（1）利用直径所对的圆周角是直角以及中位线的性质，得到OD∥AC，再根据已知条件证明DF⊥OD，可以证明DF是圆的切线．（2）先证明两三角形相似，再用相似三角形的性质求出△CDE的面积．