Question

15．如图，△ABC是等边三角形，点D为BC的中点，点P在△ABC的内部，连接PA、PB、PC、PD，∠BPC=105°，PC=2，PB=2$\sqrt{2}$，则△APD的面积为$\frac{1}{2}\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 先将△BCP绕着点C顺时针旋转60°，得到△ACE，连接PE，过点A作AP'⊥PE于P'，过P作PF⊥BC于F，根据旋转的性质以及勾股定理，得出△APE为等腰直角三角形，再根据全等三角形的性质以及三角形内角和定理，得出△CFP为等腰直角三角形，最后根据等边三角形的性质，求得AD以及DF的长，进而得到△APD的面积．

解答 解：如图所示，将△BCP绕着点C顺时针旋转60°，得到△ACE，连接PE，过点A作AP'⊥PE于P'，过P作PF⊥BC于F，
根据PC=EC，∠PCE=60°可得，△PCE为等边三角形，
∴AE=BP=2$\sqrt{2}$，
∵∠AEC=∠BPC=105°，
∴∠AEP=105°-60°=45°，
∴Rt△AEP'中，P'E=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AE=2，
又∵PE=PC=2，
∴点P与点P'重合，
∴∠APE=90°，△APE为等腰直角三角形，
∴AP=PE=PC，
∴△BP≌△CBP，
∴∠CBP=∠ABP=30°，
∴∠BCP=180°-30°-105°=45°，
∴△CFP为等腰直角三角形，
∴PF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$PC=$\sqrt{2}$=CF，
∴Rt△BFP中，BF=$\sqrt{B{P}^{2}-P{F}^{2}}$=$\sqrt{6}$，
∴BC=$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$，
∵点D为BC的中点，
∴AD⊥BC，BD=CD=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$，
∴DF=CD-CF=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$-$\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$，
又∵Rt△ABD中，∠BAD=30°，
∴AD=$\sqrt{3}$BD=$\frac{3\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$，
∴△APD的面积=$\frac{1}{2}$×AD×DF=$\frac{1}{2}$×$\frac{3\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$×$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$=$\frac{1}{2}\sqrt{3}$．
故答案为：$\frac{1}{2}\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了等边三角形的性质，勾股定理以及等腰直角三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形以及等腰直角三角形，依据等腰三角形的性质求得线段的长，进而得出三角形的面积．