Question

已知：如图△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D是斜边BC的中点，E，F分别在线段AB，AC上，且∠EDF=90°
（1）求证：△DEF为等腰直角三角形；
（2）求证：S_{四边形AEDF}=S_△BDE+S_△CDF；
（3）如果点E运动到AB的延长线上，F在射线CA上且保持∠EDF=90°，△DEF还仍然是等腰直角三角形吗？请画图说明理由．

Answer 1

分析：（1）连接AD，根据等腰直角三角形的性质可得AD⊥BC，AD=BD，∠1=45°，从而得到∠1=∠B，再根据同角的余角相等求出∠2=∠4，然后利用“AAS”证明△BDE和△ADF全等，根据全等三角形对应边相等可得DE=DF，从而得证；
（2）同理求出△ADE和△CDF全等，根据全等三角形的面积相等即可得证；
（3）依然成立，连接AD，根据等腰直角三角形的性质可得AD=BD，∠CAD=45°，再根据等角的补角相等求出∠DAF=∠DBE，然后利用“AAS”证明△BDE和△ADF全等，根据全等三角形对应边相等可得DE=DF，从而得证．

解答：（1）证明：如图，连接AD，∵∠A=90°，AB=AC，D是斜边AB的中点，
∴AD⊥BC，AD=BD，∠1=45°，
∴∠1=∠B=45°，
∵∠EDF=90°，
∴∠2+∠3=90°，
又∵∠3+∠4=90°，
∴∠2=∠4，
在△BDE和△ADF中，

∠1=∠B AD=BD ∠2=∠4

，
∴△BDE≌△ADF（ASA），
∴DE=DF，
又∵∠EDF=90°，
∴△DEF为等腰直角三角形；

（2）解：同理可证，△ADE≌△CDF，
所以，S_{四边形AEDF}=S_△ADF+S_△ADE=S_△BDE+S_△CDF，
即S_{四边形AEDF}=S_△BDE+S_△CDF；

（3）解：仍然成立．如图，连接AD，
∵∠BAC=90°，AB=AC，D是斜边BC的中点，
∴AD⊥BC，AD=BD，∠1=45°，
∵∠DAF=180°-∠1=180°-45°=135°，
∠DBE=180°-∠ABC=180°-45°=135°，
∴∠DAF=∠DBE，
∵∠EDF=90°，
∴∠3+∠4=90°，
又∵∠2+∠3=90°，
∴∠2=∠4，
在△BDE和△ADF中，

∠DAF=∠DBE AD=BD ∠2=∠4

，
∴△BDE≌△ADF（ASA），
∴DE=DF，
又∵∠EDF=90°，
∴△DEF为等腰直角三角形．

点评：本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形判定与性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．