Question

如图，已知等腰梯形ABCD的边BC在x轴上，点A（0，3）在y轴的正半轴上，点D的坐标为（2，3），且AB=．
（1）求点B的坐标；
（2）求经过A、B、D三点的抛物线的解析式；
（3）在（2）中所求得的抛物线上是否存在点P，使得S_△PBC=S_梯形ABCD？若存在，请求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）在Rt△ABO中，
∵∠AOB=90°，AB=，OA=3，
∴BO==1，
∵点B在x轴的负半轴上，
∴B（-1，0），
故点B的坐标是（-1，0）；

（2）设经过A、B、D三点的抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，
代入得：，
解这个方程组得：，
则y=-x²+2x+3．
故经过A、B、D三点的抛物线的解析式是y=-x²+2x+3；

（3）在（2）中所求得的抛物线上存在点P，能够使得S_△PBC=S_梯形ABCD．理由如下：
∵A（0，3），D（2，3），
∴AD=2．
过点D作DE⊥x轴于点E，则四边形DEOA是矩形，有DE=OA=3，AD=OE=2．
∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴CD=AB=，CE=BO=1，
∴OC=2+1=3，
∴C（3，0），
∵B（-1，0），
∴BC=4，
∴梯形ABCD的面积是×（2+4）×3=9，
∵S_△PBC=S_梯形ABCD，
∴S_△PBC=6．
设点P的坐标为（x，y），则△PBC的BC边上的高为|y|，
×4×|y|=6，
∴y=±3，
∴P点的坐标是P₁（x，3），P₂（x，-3），
代入抛物线得：-x²+2x+3=3，
解得x₁=0，x₂=2，
∴点P₁的坐标为（0，3），（2，3）；
同理可求得：点P₂的坐标为（1+，-3），（1-，-3）．
故在（2）中所求得的抛物线上存在点P（0，3），（2，3），（1+，-3），（1-，-3），使得S_△PBC=S_梯形ABCD．
分析：（1）在直角△AOB中，已知OA，AB，根据勾股定理求出BO，即可得到点B的坐标；
（2）把A、B、D的坐标代入抛物线的解析式，运用待定系数法即可求解；
（3）过点D作DE⊥x轴于点E，得到矩形DEOA，根据矩形的性质得出DE=3，再求出BC，根据梯形面积公式求出梯形ABCD的面积，则△PBC的面积=S_梯形ABCD，设点P的坐标为（x，y），则△PBC的BC边上的高为|y|，求出P点的纵坐标，代入抛物线的解析式求出P点的横坐标即可．
点评：本题主要考查对二次函数解析式的确定，三角形的面积，等腰梯形的性质，解一元二次方程等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行计算是解此题的关键．