【题目】如图,AB为⊙O直径,点D为AB下方⊙O上一点,点C为弧ABD中点,连接CD,CA.
(1)若∠ABD=α,求∠BDC(用α表示);
(2)过点C作CE⊥AB于H,交AD于E,∠CAD=β,求∠ACE(用β表示);
(3)在(2)的条件下,若OH=5,AD=24,求线段DE的长.
【答案】(1)∠BDC=α;(2)∠ACE=β;(3)DE=.
【解析】
(1)连接AD,设∠BDC=γ,∠CAD=β,则∠CAB=∠BDC=γ,证明∠DAB=βγ,β=90°γ,∠ABD=2γ,得出∠ABD=2∠BDC,即可得出结果;
(2)连接BC,由直角三角形内角和证明∠ACE=∠ABC,由点C为弧ABD中点,得出∠ADC=∠CAD=∠ABC=β,即可得出结果;
(3)连接OC,证明∠COB=∠ABD,得出△OCH∽△ABD,则==,求出BD=2OH=10,由勾股定理得出AB==26,则AO=13,AH=AO+OH=18,证明△AHE∽△ADB,得出=,求出AE=,即可得出结果.
(1)连接AD,如图1所示:
设∠BDC=γ,∠CAD=β,
则∠CAB=∠BDC=γ,
∵点C为弧ABD中点,
∴,
∴∠ADC=∠CAD=β,
∴∠DAB=β﹣γ,
∵AB为⊙O直径,
∴∠ADB=90°,
∴γ+β=90°,
∴β=90°﹣γ,
∴∠ABD=90°﹣∠DAB=90°﹣(β﹣γ)=90°﹣90°+γ+γ=2γ,
∴∠ABD=2∠BDC,
∴∠BDC=∠ABD=α;
(2)连接BC,如图2所示:
∵AB为⊙O直径,
∴∠ACB=90°,即∠BAC+∠ABC=90°,
∵CE⊥AB,
∴∠ACE+∠BAC=90°,
∴∠ACE=∠ABC,
∵点C为弧ABD中点,
∴,
∴∠ADC=∠CAD=∠ABC=β,
∴∠ACE=β
(3)连接OC,如图3所示:
∴∠COB=2∠CAB,
∵∠ABD=2∠BDC,∠BDC=∠CAB,
∴∠COB=∠ABD,
∵∠OHC=∠ADB=90°,
∴△OCH∽△ABD,
∴==,
∴BD=2OH=10,
∴AB===26,
∴AO=13,
∴AH=AO+OH=13+5=18,
∵∠EAH=∠BAD,∠AHE=∠ADB=90°,
∴△AHE∽△ADB,
∴=,即=,
∴AE=,
∴DE=AD﹣AE=24﹣=.
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【题目】有一种落地晾衣架如图①所示,其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整晾衣杆的高度.图②是支撑杆的平面示意图,AB和CD分别是两根不同长度的支撑杆,夹角∠BOD=α.若AO=85 cm,BO=DO=65 cm.问:当α=74°时,较长支撑杆的端点A离地面的高度h约为______cm.(参考数据:sin 37°≈0.6,cos 37°≈0.8,sin 53°≈0.8,cos 53°≈0.6)
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【题目】已知锐角△ABC内接于⊙O,AD⊥BC于点D,连接AO.
(1)如图1,求证:∠BAO=∠CAD;
(2)如图2,CE⊥AB于点E,交AD于点F,过点O作OH⊥BC于点H,求证:AF=2OH;
(3)如图3,在(2)的条件下,若AF=AO,tan∠BAO=,BC=,求AC的长.
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【题目】如图,在矩形ABCD中,AB=12cm,BC=6cm,点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/s的速度移动,点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动,如果P、Q同时出发,用t(s)表示移动的时间(0≤t≤6),那么:
(1)当t为何值时,△QAP是等腰直角三角形?
(2)当t为何值时,以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似?
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【题目】一个斜抛物体的水平运动距离为x(m),对应的高度记为h(m),且满足h=ax2+bx﹣2a(其中a≠0).已知当x=0时,h=2;当x=10时,h=2.
(1)求h关于x的函数表达式;
(2)求斜抛物体的最大高度和达到最大高度时的水平距离.
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【题目】如图,已知BC是⊙O的直径,AD切⊙于点A,CD∥OA交⊙O于另一点E.
(1)求证:△ACD∽△BCA;
(2)若A是⊙O上一动点,则
①当∠B=_____时,以A,O,C,D为顶点的四边形是正方形;
②当∠B=_____时,以A,O,C,E为顶点的四边形是菱形.
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【题目】(已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,下列结论:①abc>0;②2a+b>0;③b2﹣4ac>0;④a﹣b+c>0,其中正确的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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【题目】如图1,正方形ABCD在直角坐标系中,其中AB边在y轴上,其余各边均与坐标轴平行,直线l:y=x﹣5沿y轴的正方向以每秒1个单位的速度平移,在平移的过程中,该直线被正方形ABCD的边所截得的线段长为m,平移的时间为t(秒),m与t的函数图象如图2所示,则图2中b的值为( )
A.3B.5C.6D.10
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【题目】△ABC的三边长分别为a、b、c,下列条件:①∠B=∠C-∠A; ②a2=(b+c)(b-c);③∠A:∠B:∠C=3:4:5;④a:b:c=5:12:13, 其中能判断△ABC是直角三角形的个数有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
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