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【题目】如图,AB为⊙O直径,点DAB下方⊙O上一点,点C为弧ABD中点,连接CDCA

1)若∠ABDα,求∠BDC(用α表示);

2)过点CCEABH,交ADE,∠CADβ,求∠ACE(用β表示);

3)在(2)的条件下,若OH5AD24,求线段DE的长.

【答案】1)∠BDC=α;(2)∠ACE=β;(3DE=

【解析】

1)连接AD,设∠BDCγ,∠CADβ,则∠CAB=∠BDCγ,证明∠DABβγβ90°γ,∠ABD,得出∠ABD2BDC,即可得出结果;

2)连接BC,由直角三角形内角和证明∠ACE=∠ABC,由点C为弧ABD中点,得出∠ADC=∠CAD=∠ABCβ,即可得出结果;

3)连接OC,证明∠COB=∠ABD,得出△OCH∽△ABD,则,求出BD2OH10,由勾股定理得出AB26,则AO13AHAOOH18,证明△AHE∽△ADB,得出,求出AE,即可得出结果.

1)连接AD,如图1所示:

设∠BDCγ,∠CADβ

则∠CAB=∠BDCγ

∵点C为弧ABD中点,

∴∠ADC=∠CADβ

∴∠DABβγ

AB为⊙O直径,

∴∠ADB90°

γ+β90°

β90°γ

∴∠ABD90°﹣∠DAB90°﹣(βγ)=90°90°+γ+γ

∴∠ABD2BDC

∴∠BDCABDα

2)连接BC,如图2所示:

AB为⊙O直径,

∴∠ACB90°,即∠BAC+ABC90°

CEAB

∴∠ACE+BAC90°

∴∠ACE=∠ABC

∵点C为弧ABD中点,

∴∠ADC=∠CAD=∠ABCβ

∴∠ACEβ

3)连接OC,如图3所示:

∴∠COB2CAB

∵∠ABD2BDC,∠BDC=∠CAB

∴∠COB=∠ABD

∵∠OHC=∠ADB90°

∴△OCH∽△ABD

BD2OH10

AB26

AO13

AHAO+OH13+518

∵∠EAH=∠BAD,∠AHE=∠ADB90°

∴△AHE∽△ADB

,即

AE

DEADAE24

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