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    20．注意：为了使同学们更好地解答本题的第（Ⅱ）问，我们提供了一种分析问题的方法，你可以依照这个方法按要求完成本题的解答，也可以选用其他方法，按照解答题的一般要求进行解答即可．
    如图，将一个矩形纸片ABCD，放置在平面直角坐标系中，A（0，0），B（4，0），D（0，3），M是边CD上一点，将△ADM沿直线AM折叠，得到△ANM．
    （Ⅰ）当AN平分∠MAB时，求∠DAM的度数和点M的坐标；
    （Ⅱ）连接BN，当DM=1时，求△ABN的面积；
    （Ⅲ）当射线BN交线段CD于点F时，求DF的最大值．（直接写出答案）
    在研究第（Ⅱ）问时，师生有如下对话：
    师：我们可以尝试通过加辅助线，构造出直角三角形，寻找方程的思路来解决问题．
    小明：我是这样想的，延长MN与x轴交于P点，于是出现了Rt△NAP，…
    小雨：我和你想的不一样，我过点N作y轴的平行线，出现了两个Rt△NAP，…

    分析 （1）由折叠的性质得：△ANM≌△ADM，由角平分线结合得：∠BAM=∠MAN=∠NAB=30°，由特殊角的三角函数可求DM的长，写出M的坐标；
    （2）如图2，作辅助线，构建直角三角形，设NQ=x，则AQ=MQ=1+x，在Rt△ANQ中，由勾股定理列等式可得关于x的方程：（x+1）2=32+x2，求出x，得出AB是AQ的$\frac{4}{5}$，即可得出△NAQ和△NAB的关系，得出结论；
    （III）如图3，过A作AH⊥BF于H，证明△ABH∽△BFC，得$\frac{BH}{AH}=\frac{CF}{BC}$，Rt△AHN中，∵AH≤AN=3，AB=4，可知：当点N、H重合（即AH=AN）时，AH最大，BH最小，CF最小，DF最大，此时点M、F重合，B、N、M三点共线，如图4所示，求此时DF的长即可．

    解答 解：（I）∵A（0，0），B（4，0），D（0，3），
    ∴AD=3，AB=4，
    由折叠得：△ANM≌△ADM，
    ∴∠MAN=∠DAM，
    ∵AN平分∠MAB，
    ∴∠MAN=∠NAB，
    ∴∠BAM=∠MAN=∠NAB，
    ∵四边形ABCD是矩形，
    ∴∠DAB=90°，
    ∴∠DAM=30°，
    ∴DM=AD•tan∠DAM=3×tan30°=3×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\sqrt{3}$，
    ∴∠DAM=30°，M（$\sqrt{3}$，3）；

    （II）延长MN交AB的延长线于点Q，
    ∵四边形ABCD是矩形，
    ∴AB∥CD，
    ∴∠DMA=∠MAQ，
    由折叠得：△ANM≌△ADM，
    ∴∠DMA=∠AMQ，AN=AD=3，MN=MD=1，
    ∴∠MAQ=∠AMQ，
    ∴MQ=AQ，
    设NQ=x，则AQ=MQ=1+x，
    ∵∠ANM=90°，
    ∴∠ANQ=90°，
    在Rt△ANQ中，由勾股定理得：AQ2=AN2+NQ2，
    ∴（x+1）2=32+x2，
    解得：x=4，
    ∴NQ=4，AQ=5，
    ∵AB=4，AQ=5，
    ∴S△NAB=$\frac{4}{5}{S}_{△NAQ}$=$\frac{4}{5}$×$\frac{1}{2}$AN•NQ=$\frac{4}{5}×\frac{1}{2}$×3×4=$\frac{24}{5}$；

    （III）如图3，过A作AH⊥BF于H，
    ∵四边形ABCD是矩形，
    ∴AB∥CD，
    ∴∠AHB=∠BCF=90°，
    ∴△ABH∽△BFC，
    ∴$\frac{BH}{AH}=\frac{CF}{BC}$，
    Rt△AHN中，∵AH≤AN=3，AB=4，
    ∴当点N、H重合（即AH=AN）时，AH最大，BH最小，CF最小，DF最大，此时点M、F重合，B、N、M三点共线，如图4所示，
    由折叠得：AD=AH，
    ∵AD=BC，
    ∴AH=BC，
    在△ABH和△BFC中，
    $\left\{\begin{array}{l}{∠HBA=∠BFC}\\{∠AMB=∠BCF}\\{AH=BC}\end{array}\right.$，
    ∴△ABH≌△BFC（AAS），
    ∴CF=BH，
    由勾股定理得：BH=$\sqrt{A{B}^{2}-A{H}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-{3}^{2}}$=$\sqrt{7}$，
    ∴CF=$\sqrt{7}$，
    ∴DF的最大值为DC-CF=4-$\sqrt{7}$．

    点评 本题是四边形的综合题，考查了三角形全等和相似的性质和判定、折叠的性质、勾股定理、图形与坐标特点、特殊的三角函数值，熟练掌握折叠的性质是关键，注意图形与坐标特点，第II问构建直角三角形，利用勾股定理列方程是关键．

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    10．如图：在△ABC中，CE、CF分别平分∠ACB与它的邻补角∠ACD，AE⊥CE于E，AF⊥CF于F，直线EF分别交AB、AC于M、N．
    （1）求证：四边形AECF为矩形；
    （2）试猜想MN与BC的关系，并证明你的猜想；
    （3）如果四边形AECF是菱形，试判断△ABC的形状，直接写出结果，不用说明理由．

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    11．如图，已知矩形ABCD的对角线AC，BD的长是6cm，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，则四边形EFGH的周长是（　　）
    A．18cmB．16cmC．15cmD．12cm

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    8．如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC=4，BC=6，将四个直角三角形中边长为4的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（　　）
    A．56B．24C．64D．32

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    15．如图，函数y=$\frac{4}{x}$（x＞0）图象上一点P的横坐标是4，过点P作直线l交x轴于点A，交y轴负半轴于点B，且OA=OB．
    （1）求直线l的函数解析式；
    （2）过点P作直线l的垂线l1，交函数y=$\frac{4}{x}$（x＞0）图象于点C，求△OPC的面积．

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    5．如图，抛物线y=ax2+bx-2经过点A（1，0）和点B（4，0），与y轴交于点C．
    （1）求抛物线的解析式；
    （2）以点A为圆心，作于直线BC相切的⊙A，求⊙A的面积；
    （3）将直线BC向下平移n个单位后与抛物线交于点M、N，且线段MN=2CB，求直线MN的解析式及平移距离．
    附：阅读材料
    法国弗朗索瓦•韦达最早发现一元二次方程中根与系数的关系为：两根之和等于一次项系数与二次项系数之比的相反数，两根之积等于常数项羽二次项系数之比，人们称之为韦达定理．
    即：设一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1、x2，则：x1+x2=-$\frac{b}{a}$，x1•x2=$\frac{c}{a}$能灵活运用韦达定理，有时可以使解题更为简单．

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    12．如图，已知△ABC是边长为2的等边三角形，试建立适当的直角坐标系，求出其各顶点的坐标．

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