Question

19、已知关于x的一元二次方程x²+kx-1=0，是否存在实数k，使得方程有两根分别为x₁，x₂且满足x₁+x₂=x₁•x₂，若有求出k的值；若没有，请说明理由．

Answer 1

分析：先通过一元二次方程的根的判别式，判定这个方程根的情况，再利用根与系数的关系来列出关于k的方程．

解答：解：∵关于x的一元二次方程x²+kx-1=0有两根，
∴△=k²-4×1×（-1）=k²+4＞0，
原方程有两个不相等的实数根；
由根与系数的关系，得x₁+x₂=-k，x₁•x₂=-1，
∵x₁+x₂=x₁•x₂，
∴-k=-1，
解得，k=1．

点评：本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、根的判别式（△=b²-4ac）与原方程的解的情况．（1）当△＞0时，方程有两个不相等的实数根； （2）当△=0时，方程有两个相等的实数根； （3）当△＜0时，方程没有实数根．