如图.在平面直角坐标系中.矩形OABC的边OA在x轴的负半轴上.边OC在y轴的正半轴上.且OA=1.tan∠ACB=2.将矩形OABC绕点O按顺时针方向旋转90°后得到矩形ODEF．点A的对应点为点D.点B的对应点为点E.点C的对应点为点F.抛物线y=ax2+bx+2的图象过点A.C.F．(1)求抛物线所对应函数的表达式,(2)在边DE上是否存在一点M.使得以O.D.M为顶点的三� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

15．

如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA在x轴的负半轴上，边OC在y轴的正半轴上，且OA=1，tan∠ACB=2，将矩形OABC绕点O按顺时针方向旋转90°后得到矩形ODEF．点A的对应点为点D，点B的对应点为点E，点C的对应点为点F，抛物线y=ax²+bx+2的图象过点A，C，F．
（1）求抛物线所对应函数的表达式；
（2）在边DE上是否存在一点M，使得以O，D，M为顶点的三角形与△ODE相似，若存在，求出经过M点的反比例函数的表达式，若不存在，请说明理由；
（3）在x轴的上方是否存在点P，Q，使以O，F，P，Q为顶点的平行四边形的面积是矩形OABC面积的2倍，且点P在抛物线上，若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不能存在，请说明理由；
（4）在抛物线的对称轴上是否存在一点H，使得HA-HC的值最大，若存在，直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．

分析（1）由OA=1，tan∠ACB=2可以得到点C坐标，再利用旋转的性质得出F点坐标，通过待定系数法就可以求出抛物线的表达式了；
（2）若以O，D，M为顶点的三角形与△ODE相似，由于两个三角形都为直角三角形，则还需一个角相等，从图上位置可以判断只有一种可能是∠DOM=∠DEO，利用对应边的比可以求出DM的长，从而得到点M坐标，代入反比例函数表达式就可以得出结果；
（3）求出矩形OABC面积就得出了以O，F，P，Q为顶点平行四边形的面积，求出平行四边形的高代入二次函数解析式中，可以得到点P的坐标，结合平行四边形的性质就能得出Q点的坐标了；
（4）要使得HA-HC的值最大，根据三角形的任意两边之差小于第三边可知当点H、A、C在同一直线上时，HA-HC的值最大，先求出直线AC的解析式，代入对称轴x=$\frac{1}{2}$求出y的值，即为点H的坐标．

解答解：（1）∵矩形OABC，
∴BC=OA=1，OC=AB，∠B=90°，
∵tan∠ACB=2，
∴$\frac{AB}{BC}$=2
∴$\frac{OC}{AO}$=2，则OC=2，
∵将矩形OABC绕点O按顺时针方向旋转90°后得到矩形ODEF，
∴OF=2，则有A（-1，0）C（0，2）F（2，0）
∵抛物线y=ax²+bx+2的图象过点A，C，F，把点A、C、F坐标代入
得$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0}\\{4a+2b+c=0}\\{c=2}\end{array}\right.$∴解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=1}\\{c=2}\end{array}\right.$
∴函数表达式为y=-x²+x+2，
（2）存在，当∠DOM=∠DEO时，△DOM∽△DEO
∴此时有$\frac{DM}{DO}=\frac{DO}{DE}$
∴DM²=$\frac{D{O}^{2}}{DE}$=$\frac{{1}^{2}}{2}=\frac{1}{2}$
∴点M坐标为（$\frac{1}{2}$，1），
设经过点M的反比例函数表达式为y=$\frac{k}{x}$，把点M代入解得k=$\frac{1}{2}$
∴经过M点的反比例函数的表达式为y=$\frac{1}{2x}$，
（3）存在符合条件的点P，Q．
∵S_矩形ABCD=2×1=2，
∴以O，F，P，Q为顶点平行四边形的面积为4，
∵OF=2，
∴以O，F，P，Q为顶点平行四边形的高为2，
∵点P在抛物线上，设点P坐标为（m，2），
∴-m²+m+2=2，解得m₁=0，m₂=1，
∴点P坐标为P₁（0，2），P₂（1，2）
∵以O，F，P，Q为顶点的四边形为平行四边形，
∴PQ∥OF，PQ=OF=2．
∴当点P坐标为P₁（0，1）时，点Q的坐标分别为Q₁（2，2），Q₂（-2，2）；
当点P坐标为P₂（1，2）时，点Q的坐标分别为Q₃（3，2），Q₄（-1，2）；
（4）若使得HA-HC的值最大，则此时点A、C、H应在同一直线上，
设直线AC的函数解析式为y=kx+b，把点A（-1，0），点C（0，2）代入得
$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=0}\\{b=2}\end{array}\right.$ 解得$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{b=2}\end{array}\right.$
∴直线AC的函数解析式为y=2x+2，
∵抛物线函数表达式为y=-x²+x+2，
∴对称轴为x=$\frac{1}{2}$
∴把x=$\frac{1}{2}$代入y=2x+2 解得y=3
∴点H的坐标为（$\frac{1}{2}$，3）

点评本题考查了二次函数的性质、相似三角形性质、平行四边形性质及三角形三边的关系，在（2）中关键是要找到相等的角来确认对应边，（3）中的要点是利用已知面积得出平行四边形的高从而确定点坐标，（4）的关键是对三角形三边关系的熟悉及灵活运用．

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（1）试计算毗胜楼的高度CD．（2）小嘉使用计步器记录自己每天走路的情况，已知她在平路上每分钟走的步数比斜坡上每分钟走的步数的两倍少50步，在平路上每一步步长都为0.5m，斜坡上每一步步长为0.51m，若她在A处打开计步器，沿A-B-C方向行驶，到达C时计步器上显示走平路和上斜坡的运动时间相同，则计步器上记录的平路每分钟走多少步？（参考数据：tan12°=0.2，tan13°=0.23）

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（3）若直线y=t与直线l的交点不在第二象限，求t的取值范围；
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20．已知E，F分别为正方形ABCD的边BC，CD上的点，AF，DE相交于点G，当E，F分别为边BC，CD的中点时，以下两个结论：①AF=DE；②AF⊥DE都成立．试探究：
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