Question

课本中把长与宽之比为的矩形纸片称为标准纸．请解决下列问题：
（1）将一张标准纸ABCD(AB＜BC)对开，如图1所示，所得的矩形纸片ABEF是标准纸．请给予证明；

（2）在一次综合实践课上，小明尝试着将矩形纸片ABCD(AB＜BC)进行如下操作：
第一步：沿过A点的直线折叠，使B点落在AD边上点F处，折痕为AE(如图2甲)；
第二步：沿过D点的直线折叠，使C点落在AD边上点N处，折痕为DG(如图2乙) ．此时E点恰好落在AE边上的点M处；
第三步：沿直线DM折叠（如图2丙），此时点G恰好与N点重合．

请你研究，矩形纸片ABCD是否是一张标准纸？请说明理由．
（3）不难发现，将一张标准纸如图3一次又一次对开后，所得的矩形纸片都是标准纸．现有一张标准纸ABCD，AB＝1，BC＝，问第5次对开后所得标准纸的周长是多少？探索并直接写出第2002次对开后所得标准纸的周长．

Answer 1

（1）是标准纸；（2）是标准纸；（3），.

试题分析：（1）仔细分析题意根据即可作出判断；
（2）利用已知得出△ADG是等腰直角三角形，得出，即可作出判断；
（3）分别求出每一次对折后的周长，进而得出变化规律求出即可．
试题解析：（1）是标准纸．理由如下：
∵矩形ABCD是标准纸，∴
由对开的含义知：AF＝
∴
∴矩形纸片ABEF也是标准纸；
（2）是标准纸．理由如下：设AB＝CD＝a
由图形折叠可知：DN＝CD＝DG＝a，DG⊥EM
∵由图形折叠可知：△ABE≌△AFE
∴∠DAE＝∠BAD＝45°
∴△ADG是等腰直角三角形
∴在Rt△ADG中，AD＝
∴
∴矩形纸片ABCD是一张标准纸；
（3）第一次对开后所得标准纸的周长为
第二次对开后所得标准纸的周长为
第三次对开后所得标准纸的周长为
第四次对开后所得标准纸的周长为
第五次对开后所得标准纸的周长为
第2012次对开后所得的标准纸的周长为.