Question

10．如图一，AB=AC，BD、CD分别平分∠ABC和∠ACB．问：（答题时，注意书写整洁）
（1）图一中有几个等腰三角形？（写出来，不需要证明）
（2）过D点作EF∥BC，交AB于E，交AC于F，如图二，图中现在增加了几个等腰三角形，选一个进行证明．
（3）如图三，若将题中的△ABC改为不等边三角形，其他条件不变，图中有几个等腰三角形？（写出来，不需要证明）线段EF与BE、CF有什么关系，并证明．

Answer 1

分析 （1）①由条件可证得∠DBC=∠DCB，所以共有两个等腰三角形；
②由平行和角平分线的性质可得∠EDB=∠EBD，∠FDC=∠FCD，且AE=AF，所以增加了三个等腰三角形；
（2）此时同②只能得出∠EDB=∠EBD，∠FDC=∠FCD，即只有两个等腰三角形，且EF=BE+FC．

解答 解：（1）①∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵BD、CD分别是角平分线，
∴∠DBC=$\frac{1}{2}$∠ABC=$\frac{1}{2}$∠ACB=∠DCB，
∴DB=DC，
∴△BDC是等腰三角形，
即在图1中共有两个等腰三角形；
②∵EF∥BC，
∴∠EDB=∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBE=∠DBC，
∴∠DBE=∠EDB，
∴EB=ED，
∴△EBD为等腰三角形，同理△FDC为等腰三角形，
∵EF∥BC，
∴∠AEF=∠AFE，
∵AB=AC，
∴△AEF为等腰三角形，
即在图2中增加了三个等腰三角形；
（2）同②可证明得△EBD为等腰三角形，△FDC为等腰三角形，
所以EF=BE+CF，
即只有两个等腰三角形．

点评 本题主要考查等腰三角形的判定，掌握等腰三角形的判定方法是解题的关键．