Question

【题目】定义：在线段MN上存在点P、Q将线段MN分为相等的三部分，则称P、Q为线段MN的三等分点．

已知一次函数y＝﹣x+3的图象与x、y轴分别交于点M、N，且A、C为线段MN的三等分点（点A在点C的左边）．

（1）直接写出点A、C的坐标；

（2）①二次函数的图象恰好经过点O、A、C，试求此二次函数的解析式；

②过点A、C分别作AB、CD垂直x轴于B、D两点，在此抛物线O、C之间取一点P（点P不与O、C重合）作PF⊥x轴于点F，PF交OC于点E，是否存在点P使得AP＝BE？若存在，求出点P的坐标？若不存在，试说明理由；

（3）在（2）的条件下，将△OAB沿AC方向移动到△O'A'B'（点A'在线段AC上，且不与C重合），△O'A'B'与△OCD重叠部分的面积为S，试求当S＝时点A'的坐标．

Answer 1

【答案】（1）点A、C的坐标分别为：（1，2）、（2，1）；（2）①抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x；②P的坐标为：（，）；（3）点A′的坐标为：（，）

【解析】

（1）先求出M、N的坐标，再根据A、C为线段MN的三等分点，即可求解；

（2）①设函数的表达式为：y＝ax2+bx，将点A、C的坐标代入上式即可求解；

②设点P（m，﹣m2+m），AP＝BE，则（m﹣1）2+（﹣m2+m﹣2）2＝，即可求解；

（3）S＝S△A′GK﹣S△A′HR＝×GK×A′K﹣HE×A′R＝（1﹣m）（2﹣m）﹣（1﹣m）（）＝，即可求解．

解：（1）一次函数y＝﹣x+3的图象与x、y轴分别交于点M、N，令x=0，y=3，则M的坐标为（0，3），令y=0，x=3，则N的坐标为（3，0），由A、C为线段MN的三等分点，则点A、C的坐标分别为：（1，2）、（2，1）；

（2）①设函数的表达式为：y＝ax2+bx，将点A、C的坐标代入上式得：，解得：，

故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x；

②存在，理由：

设点P（m，﹣m2+m），

直线OC的表达式为：y＝x，则点B（1，），BE＝，

AP＝BE，则（m﹣1）2+（﹣m2+m﹣2）2＝，

化简得：7m2﹣15m+7＝0，

解得：m＝（舍去负值），

故点P的坐标为：（，）；

（3）设直线A′O′交OC于点H，交x轴于点G，直线A′B′交OC于点R，交x轴于点K，过点H作HE⊥A′B′于点E，

设点A向下平移m个单位向右平移m个单位得到A′（1+m，2﹣m），

设直线O′A′的表达式为：y＝2x+b，将点A′的坐标代入上式并解得：

直线O′A′的表达式为：y＝2x﹣3m①，

故点G（，0），则GK＝1+m﹣＝1﹣m，

直线OC的表达式为：y＝x②，

联立①②并解得：x＝2m，故点H（2m，m），则HE＝1+m﹣2m＝1﹣m，

点R（1+m，），则A′R＝2﹣m﹣（m+1）＝，

S＝S△A′GK﹣S△A′HR＝×GK×A′K﹣HE×A′R＝（1﹣m）（2﹣m）﹣·（1﹣m）＝，

解得：m＝，

故点A′的坐标为：（，）．