Question

如图，已知ED∥BC，∠EAB=∠BCF，
（1）四边形ABCD为平行四边形；
（2）求证：OB²=OE•OF；
（3）连接OD，若∠OBC=∠ODC，求证：四边形ABCD为菱形．

Answer 1

解：（1）∵DE∥BC，
∴∠D=∠BCF，
∵∠EAB=∠BCF，
∴∠EAB=∠D，
∴AB∥CD，
∵DE∥BC，
∴四边形ABCD为平行四边形；

（2）∵DE∥BC，
∴，
∵AB∥CD，
∴，
∴，
∴OB²=OE•OF；

（3）连接BD，交AC于点H，
∵DE∥BC，
∴∠OBC=∠E，
∵∠OBC=∠ODC，
∴∠ODC=∠E，
∵∠DOF=∠DOE，
∴△ODF∽△OED，
∴，
∴OD²=OE•OF，
∴OB²=OF•OE，
∴OB=OD，
∵平行四边形ABCD中BH=DH，
∴OH⊥BD，
∴四边形ABCD为菱形．
分析：（1）由ED∥BC，∠EAB=∠BCF，可证得∠EAB=∠D，即可证得AB∥CD，则得四边形ABCD为平行四边形；
（2）由平行线分线段成比例定理，即可证得OB²=OE•OF；
（3）首先作辅助线：连接BD，交AC于点H，连接OD，易证得△ODF∽△OED，即可证得OD²=OE•OF，则得到OB=OD，又由OH⊥BD，即可证得四边形ABCD为菱形．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，菱形的判定以及平行线分线段成比例定理等．综合性很强，图形较复杂，解题时要注意识图，灵活应用数形结合思想．