Question

1．在?ABCD中，点E是边BC的中点，点F是线段AE上一点，BF的延长线与边CD或其延长线交于点G，过点E作EH∥AB与BG交于点H．

猜想：如图①，当BF的延长线与边CD交于点G时，若$\frac{AF}{EF}$=3，则$\frac{AB}{EH}$的值是3，$\frac{CD}{CG}$的值是$\frac{3}{2}$．
探究：如图②，当BF的延长线与边CD交于点G时，若$\frac{AF}{EF}$=$\frac{3}{2}$，求$\frac{CD}{CG}$的值．
应用：如图②，若$\frac{AF}{EF}$=m（m＞0），利用探究得到的结论：$\frac{CD}{CG}$的值是$\frac{m}{2}$．（用含m的代数式表示）

Answer 1

分析 猜想：由EH∥AB，易证得△ABF∽△EHF，根据相似三角形的对应边成比例，可得$\frac{AB}{EH}$=$\frac{AF}{EF}$=3，又由四边形ABCD是平行四边形，证得△BEH∽△BCG，又由点E是边BC的中点，即可求得$\frac{CG}{EH}$=$\frac{BC}{BE}$=2，继而求得答案；
探究：由EH∥AB，易证得△ABF∽△EHF，根据相似三角形的对应边成比例，可得$\frac{AB}{EH}$=$\frac{AF}{EF}$=$\frac{3}{2}$，又由四边形ABCD是平行四边形，证得△BEH∽△BCG，又由点E是边BC的中点，即可求得$\frac{CG}{EH}$=$\frac{BC}{BE}$=2，继而求得答案；
应用：由EH∥AB，易证得△ABF∽△EHF，根据相似三角形的对应边成比例，可得$\frac{AB}{EH}$=$\frac{AF}{EF}$=m，又由四边形ABCD是平行四边形，证得△BEH∽△BCG，又由点E是边BC的中点，即可求得$\frac{CG}{EH}$=$\frac{BC}{BE}$=2，继而求得答案．

解答 解：猜想：∵EH∥AB，
∴△ABF∽△EHF，
∴$\frac{AB}{EH}$=$\frac{AF}{EF}$=3，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴$\frac{CD}{EH}$=3，EH∥CD，
∴△BEH∽△BCG，
∵点E是边BC的中点，
∴$\frac{CG}{EH}$=$\frac{BC}{BE}$=2，
∴$\frac{CD}{CG}$=$\frac{3}{2}$；
故答案为：3，$\frac{3}{2}$．                                              

探究：∵EH∥AB，
∴△ABF∽△EHF．
∴$\frac{AB}{EH}=\frac{AF}{EF}=\frac{3}{2}$．
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD．
∴EH∥CD，
∴△BEH∽△BCG．
∴$\frac{CG}{EH}=\frac{BC}{BE}=2$．
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD．
∴$\frac{CD}{CG}=\frac{3}{4}$；

应用：∵EH∥AB，
∴△ABF∽△EHF．
∴$\frac{AB}{EH}=\frac{AF}{EF}$=m．
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD．
∴EH∥CD，
∴△BEH∽△BCG．
∴$\frac{CG}{EH}=\frac{BC}{BE}=2$．
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD．
∴$\frac{CD}{CG}=\frac{m}{2}$．
故答案为：$\frac{m}{2}$．

点评 此题属于相似三角形的综合题，考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质．注意证得△ABF∽△EHF与△BEH∽△BCG是关键．