Question

24、如图，点O是线段AB的中点，分别以AO和OB为边在线段AB的同侧作等边三角形OAM和等边三角形OBN，连接AN、BM相交于点P．
（1）证明ON⊥BM；
（2）求∠APB的大小；
（3）如图2，若△OAM固定，将△OBN绕着点O旋转α角度（△OBN形状和大小不变，0＜α＜180°），试探究∠APB大小是否发生变化，并对结论给予证明．

Answer 1

分析：（1）连接MN，先证明四边形MOBN为平行四边形，结合BN=OB，可知平行四边形MOBN为菱形，所以ON⊥BM；
（2）利用（1）中证得的结果四边形MOBN为菱形可知，BM平分∠OBN，又在等边△OBN中，∠OBN=60°，所以∠MBO=30°，即∠PBA=30°，∠PAB=30°，所以∠APB=180°-∠PAB-∠PBA=120°；
（3）①若△OBN绕着点O逆时针旋转α（0°＜α＜60°）或顺时针旋转α（0°＜α＜120°）时，∠AON=∠AOM+∠MON=60°+∠MON，∠MOB=∠BON+∠MON=60°+∠MON，可证明△AON≌△MOB，所以∠ONA=∠OBM．则∠APB=ONB+∠ONA+∠OBN-∠OBM=120°．
②若△OBN绕着点O逆时针旋转60°或顺时针旋转120°时，点P与M或O重合，此时仍有∠APB=120°．
③若△OBN绕着点O逆时针旋转α（60°＜α＜180°）或顺时针旋转α（120°＜α＜180°）时，类似①可证∠APB=120°．

解答：解：（1）证明：连接MN，∵AO=OB且△OAM和△OBN是等边三角形，
∴OM=BN=OB，∠MOA=∠NBO，（1分）
∴MO∥BN，且OM=BN，
∴四边形MOBN为平行四边形．（3分）
又∵BN=OB，
∴平行四边形MOBN为菱形，
∴ON⊥BM．（4分）

（2）∵四边形MOBN为菱形，
∴BM平分∠OBN，（5分）
又在等边△OBN中，∠OBN=60°，
∴∠MBO=30°，即∠PBA=30°．（6分）
同理∠PAB=30°，
∴∠APB=180°-∠PAB-∠PBA=180°-30°-30°=120°．（8分）

（3）在旋转过程中∠APB大小不发生变化，始终保持120°不变．（9分）
证明：①若△OBN绕着点O逆时针旋转α（0°＜α＜60°）或顺时针旋转α（0°＜α＜120°）时，
则如图，在△AON和△MOB中，∠AON=∠AOM+∠MON=60°+∠MON，
又∠MOB=∠BON+∠MON=60°+∠MON，
∴∠AON=∠MOB，（10分）
又AO=MO，ON=OB，
∴△AON≌△MOB，
∴∠ONA=∠OBM．（11分）
∴∠APB=∠ANB+∠PBN=∠ONB+∠ONA+∠OBN-∠OBM=120°．（12分）
②若△OBN绕着点O逆时针旋转60°或顺时针旋转120°时，点P与M或O重合，此时仍有∠APB=120°．（13分）
③若△OBN绕着点O逆时针旋转α（60°＜α＜180°）或顺时针旋转α（120°＜α＜180°）时，类似①可证∠APB=120°．（14分）

点评：本题考查旋转的性质，菱形的性质和等边三角形的性质．旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．要熟练掌握它们的性质，并会熟练的运用全等的性质得到需要的等量关系．