Question

20．如图，△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥BC于D，M是BC的中点，求证：AB=2DM．

Answer 1

分析 取AC的中点N，连接MN，DN，由M为BC的中点，得到MN为三角形ABC的中位线，利用中位线定理得到MN等于AB的一半，且MN与AB平行，由两直线平行同位角相等得到∠NMC=∠B，而∠B=2∠C，得到∠NMC=2∠C，由DN为直角三角形ADC斜边上的中线，得到DN=NC，等边对等角得到∠MDN=∠C，又因为∠NMC为三角形DMN的外角，利用三角形的外角性质及等量代换可得出∠MDN=∠MND，利用等角对等边可得出DM=MN，即可得证．

解答 证明：取AC的中点N，连接MN，DN，
∵M为BC的中点，
∴MN为△ABC的中位线，
∴MN∥AB，且MN=$\frac{1}{2}$AB，
∴∠B=∠NMC，又∠B=2∠C，
∴∠NMC=2∠C，
∵∠NMC为△DMN的外角，
∴∠NMC=∠MDN+∠MND=2∠C，
又∵DN为Rt△ADC斜边上的中线，
∴DN=NC=AN=$\frac{1}{2}$AC，
∴∠MDN=∠C，
∴∠MND=∠C=∠MDN，
∴DM=MN，
则DM=$\frac{1}{2}$AB．

点评 此题考查了等腰三角形的判定与性质、三角形的中位线定理、三角形的外角性质以及平行线的判定与性质；熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解本题的关键．