分析 取AC的中点N,连接MN,DN,由M为BC的中点,得到MN为三角形ABC的中位线,利用中位线定理得到MN等于AB的一半,且MN与AB平行,由两直线平行同位角相等得到∠NMC=∠B,而∠B=2∠C,得到∠NMC=2∠C,由DN为直角三角形ADC斜边上的中线,得到DN=NC,等边对等角得到∠MDN=∠C,又因为∠NMC为三角形DMN的外角,利用三角形的外角性质及等量代换可得出∠MDN=∠MND,利用等角对等边可得出DM=MN,即可得证.
解答 证明:取AC的中点N,连接MN,DN,
∵M为BC的中点,
∴MN为△ABC的中位线,
∴MN∥AB,且MN=$\frac{1}{2}$AB,
∴∠B=∠NMC,又∠B=2∠C,
∴∠NMC=2∠C,
∵∠NMC为△DMN的外角,
∴∠NMC=∠MDN+∠MND=2∠C,
又∵DN为Rt△ADC斜边上的中线,
∴DN=NC=AN=$\frac{1}{2}$AC,
∴∠MDN=∠C,
∴∠MND=∠C=∠MDN,
∴DM=MN,
则DM=$\frac{1}{2}$AB.
点评 此题考查了等腰三角形的判定与性质、三角形的中位线定理、三角形的外角性质以及平行线的判定与性质;熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解本题的关键.
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