Question

如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠CAD＝∠CBD＝15°，E为AD延长线上的一点，且CE＝CA．

(1)求证：DE平分∠BDC；

(2)若点M在DE上，且DC＝DM，求证：ME＝BD．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)在等腰直角△ABC中， 　　∵∠CAD＝∠CBD＝15o， 　　∴∠BAD＝∠ABD＝45o－15o＝30o， 　　∴BD＝AD，∴△BDC≌△ADC， 　　∴∠DCA＝∠DCB＝45o． 　　由∠BDM＝∠ABD＋∠BAD＝30o＋30o＝60o， 　　∠EDC＝∠DAC＋∠DCA＝15o＋45o＝60o， 　　∴∠BDM＝∠EDC， 　　∴DE平分∠BDC． 　　(2)如图，连接MC， 　　∵DC＝DM，且∠MDC＝60°， 　　∴△MDC是等边三角形，即CM＝CD． 　　又∵∠EMC＝180°－∠DMC＝180°－60°＝120°， 　　∠ADC＝180°－∠MDC＝180°－60°＝120°， 　　∴∠EMC＝∠ADC． 　　又∵CE＝CA， 　　∴∠DAC＝∠CEM＝15°，∴△ADC≌△EMC，∴ME＝AD＝DB．