Question

如图，形如量角器的半圆O的直径DE=12cm，形如三角板的△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=12cm，半圆O以1cm/s的速度从左向右运动，在运动过程中，点D、E始终在直线BC上，设运动时间为t（s），当t=0（s）时，半圆O在△ABC的左侧，OC=8cm．
（1）当t=0（s）时，点A在半圆O

 

，当t=8（s）时，点A在半圆O

 

；
（2）当t为何值时，△ABC的边AC与半圆O相切？
（3）当t为何值时，△ABC的边AB与半圆O相切？

Answer 1

分析：（1）根据线段AC的长度可知当t=0（s）时，点A在半圆外，介绍可知AC＞6，所以当t=8时点A在半圆外；
（2）△ABC的边AC与半圆O相切有2个位置，当点E与点C重合时，AC与半圆O所在的圆相切，所求运动时间为t=2；当点D与点C重合时，AC与半圆O所在的圆相切，所求运动时间为t=14；
（3）过C点作CF⊥AB，交AB于F点，当半圆O与△ABC的边AB相切时，圆心O到AB的距离等于6cm，且圆心O又在直线BC上，即当O点运动到C点时，半圆O与△ABC的边AB相切，此时点O运动了8cm，所求运动时间为t=8．

解答：解：（1）当t=0（s）时，点A在半圆O外．
∵AC＞6，
∴当t=8时，点A在半圆O外．

（2）①如图1，当点E与点C重合时，AC⊥OE，OC=OE=6cm，AC与半圆O所在的圆相切，
此时点O运动了2cm，
所求运动时间为t=

2

1

=2（s）；
②如图2，当点D与点C重合时，AC⊥OD，OC=OD=6cm，AC与半圆O所在的圆相切，
此时点O运动了14cm，所求运动时间为t=

14

1

=14（s）


（3）③如图3，过C点作CF⊥AB，交AB于F点；
∵∠ABC=30°，BC=12cm，
∴FO=6cm；
当半圆O与△ABC的边AB相切时，
又圆心O到AB的距离等于6cm，
且圆心O又在直线BC上，
∴O与C重合，
即当O点运动到C点时，半圆O与△ABC的边AB相切；
此时点O运动了8cm，所求运动时间为t=

8

1

=8（s）．

④当点O运动到B点的右侧，且OB=12cm时，过点O作OQ⊥直线AB，垂足为Q．
在Rt△QOB中，∠OBQ=30°，则OQ=6cm，
即OQ与半圆O所在的圆相切．此时点O运动了32cm．
所求运动时间为：t=32÷1=32s
答：当t等于2s或14s时，AC与半圆O所在的圆相切．
当t等于8s或32s时，AB与半圆O所在的圆相切．

点评：此题主要考查了直线与圆的位置关系和点与圆的位置关系．利用时间t来表示线段之间的关系是动点问题中是常用的方法之一，要会灵活运用．并能根据圆心到直线的距离来判断直线与圆的位置关系．