阅读理解:
如图1,若在四边形ABCD的边AB上任取一点E(点E与点A,B不重合),分别连结ED,EC,可以把四边形ABCD分成三个三角形,如果其中有两个三角形相似,我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的相似点;如果这三个三角形都相似,我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的强相似点.解决问题:
(1)如图1,若∠A=∠B=∠DEC=55°,试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点,并说明理由;
(2)如图2,在矩形ABCD中,AB=5,BC=2,且A,B,C,D四点均在正方形网格(网格中每个小正方形的边长为1)的格点(即每个小正方形的顶点)上,试在图2中画出矩形ABCD的边AB上的一个强相似点E;
拓展探究:
(3)如图3,将矩形ABCD沿CM折叠,使点D落在AB边上的点E处.若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点,请直接写出的值.
图1 图2 图3
(1)见解析;(2)见解析;(3).
解析试题分析:(1)要证明点E是四边形ABCD的边AB上的相似点,只要证明有一组三角形相似就行,很容易证明△ADE∽△BEC,所以问题得解.
(2)根据两个直角三角形相似得到强相似点的两种情况即可.
(3)因为点E是梯形ABCD的边AB上的一个强相似点,所以就有相似三角形出现,根据相似三角形的对应线段成比例,可以判断出BC和AB的数量关系,从而可求出解.
试题解析:
(1)点E是四边形ABCD的边AB上的相似点.
理由:∵∠A=55°,
∴∠ADE+∠DEA=125°.
∵∠DEC=55°,
∴∠BEC+∠DEA=125°.
∴∠ADE=∠BEC.
∵∠A=∠B,
∴△ADE∽△BEC.
∴点E是四边形ABCD的AB边上的相似点
(2)作图如下:
图1 图2
(3).
考点:相似形综合题.
科目:初中数学 来源: 题型:解答题
如图,网格图的每个小正方形边长均为1.△OAB的顶点均在格点上.已知△与△OAB是以O为位似中心的位似图形,且位似比为1︰3.
(1)请在第一象限内画出△;
(2)试求出△的面积.
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科目:初中数学 来源: 题型:解答题
如图,在平面直角坐标系中,△ABC和△是以坐标原点O为位似中心的位似图形,且点B(3,1),B′(6,2).
(1)请你根据位似的特征并结合点B的坐标变化回答下列问题: ①若点A(,3),则A′的坐标为 ;②△ABC与△的相似比为 ;
(2)若△ABC的面积为m,求△A′B′C′的面积.(用含m的代数式表示)
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科目:初中数学 来源: 题型:解答题
在一个边长为a(单位:cm)的正方形ABCD中.
(1)如图1,如果N是AD中点,F为AB中点,连接DF,CN.
①求证:DF=CN;
②连接AC.求DH:HE: EF的值;
(2)如图2,如果点E、M分别是线段AC、CD上的动点,假设点E从点A出发,以cm/s速度沿AC向点C运动,同时点M从点C出发,以1cm/s的速度沿CD向点D运动,运动时间为t(t>0),连结DE并延长交正方形的边于点F,过点M作MN⊥DF于H,交AD于N.判断命题“当点F是边AB中点时,则点M是边CD的三等分点”的真假,并说明理由. (4分)
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科目:初中数学 来源: 题型:解答题
如图,在平面直角坐标系xoy中,以点M(1,-1)为圆心,以为半径作圆,与x轴交于A、B两点,与y轴交于C、D两点,二次函数的图象经过点A、B、C,顶点为E.
(1)求此二次函数的表达式;
(2)设∠DBC=a,∠CBE=b,求sin(a-b)的值;
(3)坐标轴上是否存在点P,使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCE相似.若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
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科目:初中数学 来源: 题型:解答题
提出问题
如图1,在等边△ABC中,点M是BC上的任意一点(不含端点B、C),连结AM,以AM为边作等边△AMN,连结CN.求证:∠ABC=∠ACN.
类比探究
如图2,在等边△ABC中,点M是BC延长线上的任意一点(不含端点C),其它条件不变,(1)中结论∠ABC=∠ACN还成立吗?请说明理由.
拓展延伸
如图3,在等腰△ABC中,BA=BC,点M是BC上的任意一点(不含端点B、C),连结AM,以AM为边作等腰△AMN,使顶角∠AMN=∠ABC.连结CN.试探究∠ABC与∠ACN的数量关系,并说明理由.
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