Question

已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，DE⊥AC于点F，交AB的延长线于点E，且AE=AC．（1）试说明：△ABF是等腰三角形；
（2）若AD=DC，试说明：AC=2AB．

Answer 1

分析：（1）根据AAS证出△ABC≌△AFE，根据全等三角形的性质推出即可；
（2）因为AC⊥DE，若AD=DC，则可证明DE是AC的垂直平分线，即F是AC的中点，因为三角形ABC是直角三角形，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可证明．

解答：（1）证明：∵∠ABC=90°，DE⊥AC，
∴∠ABC=∠AFE=90°，
在△ABC和△AFE中
∵

∠BAC=∠FAE ∠ABC=∠AFE AC=AE

，
∴△ABC≌△AFE（AAS），
∴AB=AF，
∴△ABF是等腰三角形；

（2）∵DE⊥AC于点F，AD=DC，
∴DE是AC的垂直平分线，
∴F是AC的中点，
∵∠ABC=90°，
∴△ABC是直角三角形，
∴BF=

1

2

AC，
∵AB=AF，
∴AC=2AB

点评：本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．