Question

【题目】探索勾股定理时，我们发现“用不同的方式表示同一图形的面积”可以解决线段和(或差)的有关问题，这种方法称为面积法．请你运用面积法求解下列问题：在等腰△ABC中，AB＝AC，BD为腰AC上的高．

(1)若BD＝h，M是直线BC上的任意一点，M到AB、AC的距离分别为h1，h2．

A、若M在线段BC上，请你结合图形①证明：h1+h2＝h；

B、当点M在BC的延长线上时，h1，h2，h之间的关系为　 　．(请直接写出结论，不必证明)

(2)如图②，在平面直角坐标系中有两条直线l1：y＝x+6；l2：y＝﹣3x+6．若l2上的一点M到l1的距离是2，请你利用以上结论求解点M的坐标．

Answer 1

【答案】(1)A、证明见解析；B、h1﹣h2＝h；(2)点M的坐标为或．

【解析】

（1）A、如图，连接AM，设BD=h，EM=h1，MF=h2，由于S△ABC=S△ABM+S△ACM，而EM⊥AB，MF⊥AC，BD⊥AC，因此得到ACh=ABh1+ACh2，而AB=AC，因此即可证明结论；

B、可采用和A类似的方法，画图作辅助线，利用三角形面积公式根据S△ABC=S△ABM-S△ACM，代入化简得出h1-h2=h；
（2）由题意可知，DE=DF=10，所以△EDF是等腰三角形，
当点M在线段EF上时，依据（1）中结论，由h=EO=6可以得到M到DF（即x轴）的距离也为4，此时可求得M的坐标；
当点M在射线FE上时，依据（1）中结论，由h=EO=6可以得到M到DF（即x轴）的距离也为8，此时可求得M的坐标．

(1)证明：连接AM，

A、∵S△ABC＝S△ABM+S△ACM，EM⊥AB，MF⊥AC，BD⊥AC，

∴ACh＝ABh1+ACh2，

又∵AB＝AC，

∴h＝h1+h2；

B、结论：h=h1-h2．
理由：如图，连接MA，
∵S△ABC=ACBD=ACh，
S△ABM=ABME=ABh1，
S△ACM=ACMF=ACh2，．
又∵S△ABC=S△ABM-S△ACM，
∴ACh=ABh1-ACh2．
∵AB=AC，
∴h=h1-h2；

(2)由题意可知，DE＝DF＝10，

∴△EDF是等腰三角形，

当点M在线段EF上时，依据(1)中结论，

∵h＝EO＝6，

∴M到DF(即x轴)的距离为6-2=4，

∴点M的纵坐标为4，此时可求得M，

当点M在射线FE上时，依据(1)中结论，

∵h＝EO＝6，∴M到DF(即x轴)的距离为8，

∴点M的纵坐标为8，此时可求得M，

故点M的坐标为或．

故答案为：(1)A、证明见解析；B、h1﹣h2＝h；(2)点M的坐标为或．