Question

如果两个三角形两边和第三边上的中线对应成比例，那么这两个三角形相似．

 

（判断对错）

Answer 1

考点：相似三角形的判定

专题：

分析：首先根据题意画出图形．已知，AD、A′D′分别是△ABC与△A′B′C′的中线，

AB

A′B′

=

AC

A′C′

=

AD

A′D′

．再作出辅助线倍长中线法：延长AD到M，使DM=AD，连结MC，证明△ABD≌△MCD，那么AB=MC，同理得出A′B′=M′C′，然后证明△ACM∽△A′C′M′，得出∠MAC=∠M′A′C′，同理可得∠MAB=∠M′A′B′，于是∠BAC=∠B′A′C′，再根据两边及其夹角法即可证明△ABC∽△A′B′C′．

解答：解：正确．理由如下：
如图，AD、A′D′分别是△ABC与△A′B′C′的中线，

AB

A′B′

=

AC

A′C′

=

AD

A′D′

．
延长AD到M，使DM=AD，连结MC．
在△ABD与△MCD中，

AD=MD ∠ADB=∠MDC BD=CD

，
∴△ABD≌△MCD（SAS），
∴AB=MC，
同理延长A′D′到M′，使D′M′=A′D′，连结M′C′，那么A′B′=M′C′，
∴

MC

M′C′

=

AB

A′B′

．
在△ACM与△A′C′M′中，

MC

M′C′

=

AC

A′C′

=

AM

A′M′

，
∴△ACM∽△A′C′M′，
∴∠MAC=∠M′A′C′，
同理可得∠MAB=∠M′A′B′，
∴∠MAC+∠MAB=∠M′A′C′+∠M′A′B′，∠BAC=∠B′A′C′．
在△ABC与△A′B′C′中，

AB A′B′ = AC A′C′ ∠BAC=∠B′A′C′

，
∴△ABC∽△A′B′C′．
故答案为正确．

点评：本题考查了相似三角形的判定，判定两个三角形相似的方法有：
（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；
（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；
（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；
（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
同时考查了全等三角形的判定与性质．