Question

课题学习：
（1）如图1，E、F、G、H分别是正方形ABCD各边的中点，则四边形EFGH是______形，正方形ABCD的面积记为S₁，EFGH的面积为S₂，则S₁和S₂间的数量关系：______；
（2）如图2，E、F、G、H分别是菱形ABCD各边的中点，则四边形EFGH是______形，菱形ABCD的面积为S₁，EFGH的面积为S₂，则S₁和S₂间的数量关系：______；
（3）如图3，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD，垂足为O，E、F、G、H分别为各边的中点．四边形EFGH是______形；若梯形ABCD的面积记为S₁，四边形EFGH的面积记为S₂，由图可猜想S₁和S₂间的数量关系为：______；
（4）如图4，E、G分别是平行四边形ABCD的边AB、DC的中点，H、F分别是边形AD、BC上的点，且四边形EFGH为平行四边形，若把平行四边形ABCD的面积记为S₁，把平行四边形形EFGH的面积记为S₂，试猜想S₁和S₂间的数量关系，并加以证明．

Answer 1

【答案】分析：（1）连接AC、BD．先根据三角形中位线的性质得出EH∥BD∥FG，EF∥AC∥HG，EH=FG=BD，EF=HG=AC，则四边形EFGH为平行四边形，再由正方形的对角线相等且互相垂直，得出EF=FG，EF⊥FG，从而证明?EFGH是正方形；利用相似多边形的面积比等于相似比的平方可求得S₁=2S₂；
（2）连接AC、BD．先根据三角形中位线的性质得出EH∥BD∥FG，EF∥AC∥HG，EH=FG=BD，EF=HG=AC，则四边形EFGH为平行四边形，再由菱形的对角线互相垂直，得出EF⊥FG，从而证明?EFGH是矩形；利用相似三角形的面积比等于相似比的平方可求得S₁=2S₂；
（3）先根据三角形中位线的性质得出EH∥BD∥FG，EF∥AC∥HG，EH=FG=BD，EF=HG=AC，则四边形EFGH为平行四边形，再由AC⊥BD，得出EF⊥FG，从而证明?EFGH是矩形；利用相似多边形的面积比等于相似比的平方可求得S₁=2S₂；
（4）过点H作HM⊥AB于M，延长MH交CD于N，先由垂线的唯一性得出MN为平行四边形ABCD的边AB、DC上的高，再根据三角形的面积公式得出S_△AEH+S_△DHG=AB•MN=S_?ABCD，同理得出S_△BEF+S_△CFG=AB•PQ=S_?ABCD，进而求出S_?EFGH=S_?ABCD，即S₁=2S₂．
解答：解：（1）如图1．连接AC、BD．
∵E、F、G、H分别是正方形ABCD各边的中点，
∴EH∥BD∥FG，EF∥AC∥HG，EH=FG=BD，EF=HG=AC，
∴四边形EFGH为平行四边形，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC=BD，AC⊥BD，
∴EF=FG，EF⊥FG，
∴?EFGH是正方形；
∵正方形ABCD∽正方形EFGH，
∴S₁：S₂=（AB：EF）²=（2BE：BE）²=（2：）²=2，
∴S₁=2S₂；

（2）如图2．连接AC、BD．
∵E、F、G、H分别是菱形ABCD各边的中点，
∴EH∥BD∥FG，EF∥AC∥HG，EH=FG=BD，EF=HG=AC，
∴四边形EFGH为平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴EF⊥FG，
∴?EFGH是矩形；
在△ABD中，∵EH∥BD，
∴△AEH∽△ABD，
∵EH=BD，
∴S_△AEH：S_△ABD=（EH：BD）²=，即S_△AEH=S_△ABD，
同理可证：S_△CFG=S_△CBD，
∴S_△AEH+S_△CFG=（S_△ABD+S_△CBD）=S_菱形ABCD．
同理可得S_△BEF+S_△DHG=（S_△ABC+S_△CDA）=S_菱形ABCD，
∴S_△AEH+S_△CFG+S_△BEF+S_△DHG=S_菱形ABCD，
∴S_矩形EFGH=S_菱形ABCD-（S_△AEH+S_△CFG+S_△BEF+S_△DHG）=S_菱形ABCD，
∴S₁=2S₂；

（3）如题目图3．∵E、F、G、H分别是梯形ABCD各边的中点，
∴EH∥BD∥FG，EF∥AC∥HG，EH=FG=BD，EF=HG=AC，
∴四边形EFGH为平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴EF⊥FG，
∴?EFGH是矩形；
在△ABD中，∵EH∥BD，
∴△AEH∽△ABD，
∵EH=BD，
∴S_△AEH：S_△ABD=（EH：BD）²=，即S_△AEH=S_△ABD，
同理可证：S_△CFG=S_△CBD，
∴S_△AEH+S_△CFG=（S_△ABD+S_△CBD）=S_梯形ABCD．
同理可得S_△BEF+S_△DHG=（S_△ABC+S_△CDA）=S_梯形ABCD，
∴S_△AEH+S_△CFG+S_△BEF+S_△DHG=S_梯形ABCD，
∴S_矩形EFGH=S_梯形ABCD-（S_△AEH+S_△CFG+S_△BEF+S_△DHG）=S_梯形ABCD，
∴S₁=2S₂；

（4）S₁=2S₂．理由如下：
如图4．过点H作HM⊥AB于M，延长MH交CD于N．
∵AB∥CD，HM⊥AB，
∴HM⊥CD，即MN⊥CD，则MN为平行四边形ABCD的边AB、DC上的高．
∵E、G分别是平行四边形ABCD的边AB、DC的中点，
∴AE=BE=CG=GD=AB=CD．
∵S_△AEH=AE•HM=AB•HM，S_△DHG=GD•HN=CD•HN，
∴S_△AEH+S_△DHG=AB•HM+CD•HN=AB（HM+HN）=AB•MN=S_?ABCD．
同理可得S_△BEF+S_△CFG=AB•FQ+CD•FP=AB（FQ+FP）=AB•PQ=S_?ABCD，
∴S_△AEH+S_△CFG+S_△BEF+S_△DHG=S_?ABCD，
∴S_?EFGH=S_?ABCD-（S_△AEH+S_△CFG+S_△BEF+S_△DHG）=S_?ABCD，
∴S₁=2S₂．
点评：本题考查了三角形中位线的性质，特殊四边形的判定和性质，相似多边形的性质，多边形的面积，综合性较强，有一定难度．