Question

【题目】如图①，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，∠EAC=90°，点M为射线AE上任意一点（不与点A重合），连接CM，将线段CM绕点C按顺时针方向旋转90°得到线段CN，直线NB分别交直线CM，射线AE于点F、D．

（1）问题发现：直接写出∠NDE= 度；

（2）拓展探究：试判断，如图②当∠EAC为钝角时，其他条件不变，∠NDE的大小有无变化？请给出证明．

（3）如图③，若∠EAC=15°，BD=，直线CM与AB交于点G，其他条件不变，请直接写出AC的长．

Answer 1

【答案】（1）90°；

（2）证明见解析；

（3）AC=2．

【解析】分析：（1）根据题意证明△MAC≌△NBC即可；（2）∠NDE的大小不变，证明△MAC≌△NBC，得到∠N=∠AMC，又∠MFD=∠NFC，所以∠MDF=∠FCN=90°，即∠NDE=90°．（3）先证明△MAC≌△NBC，所以∠NBC=∠MAC=15°，再证明∠BDH=∠ACH=90°，∠ABD=60°，求出AB=2，根据AC=ABcos45°，即可解答．

本题解析：

(1)∵∠ACB=90°,∠MCN=90°，∴∠ACM=∠BCN，

在△MAC和△NBC中，

，∴△MAC≌△NBC，∴∠NBC=∠MAC=90°，

又∵∠ACB=90°,∠EAC=90°，∴∠NDE=90°.

故答案为：90°.

(2)∠NDE的大小不变，

在△MAC和△NBC中，

，∴△MAC≌△NBC，∴∠N=∠AMC，

又∵∠MFD=∠NFC，∴∠MDF=∠FCN=90°，即∠NDE=90°.

(3)AC=2，

在△MAC和△NBC中，

，

∴△MAC≌△NBC，∴∠NBC=∠MAC=15°，

如图③，设BC与AD交于点H，

又∵∠AHC=∠BHD，∴∠BDH=∠ACH=90°，

∴在Rt△ABD中,∠ABD=∠ABC+∠NBC=45°+15°=60°

∵BD=，∴AB=2，

∴AC=ABcos45°=2.