Question

如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标是（-4，0），点B的坐标是（0，b）（b＞0）．P是直线AB上的一个动点，作PC⊥x轴，垂足为C．记点P关于y轴的对称点为P′（点P′不在y轴上），连接PP′，P′A，P′C．设点P的横坐标为a．
（1）当b=3时，
①求直线AB的解析式；
②若点P′的坐标是（-1，m），求m的值；
（2）若点P在第一象限，记直线AB与P′C的交点为D．当P′D：DC=1：3时，求a的值；
（3）是否同时存在a，b，使△P′CA为等腰直角三角形？若存在，请求出所有满足要求的a，b的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）①利用待定系数法即可求得函数的解析式；
②把（-1，m）代入函数解析式即可求得m的值；
（2）可以证明△PP′D∽△ACD，根据相似三角形的对应边的比相等，即可求解；
（3）分P在第一，二，三象限，三种情况进行讨论．利用相似三角形的性质即可求解．

解答：解：（1）①设直线AB的解析式为y=kx+3，
把x=-4，y=0代入得：-4k+3=0，
∴k=

3

4

，
∴直线的解析式是：y=

3

4

x+3，
②P′（-1，m），
∴点P的坐标是（1，m），
∵点P在直线AB上，
∴m=

3

4

×1+3=

15

4

；

（2）∵PP′∥AC，
△PP′D∽△ACD，
∴

P′D

DC

=

P′P

CA

，即

2a

a+4

=

1

3

，
∴a=

4

5

；

（3）以下分三种情况讨论．
①当点P在第一象限时，
1）若∠AP′C=90°，P′A=P′C（如图1）
过点P′作P′H⊥x轴于点H．
∴PP′=CH=AH=P′H=

1

2

AC．
∴2a=

1

2

（a+4）
∴a=

4

3

∵P′H=PC=

1

2

AC，△ACP∽△AOB
∴

OB

OA

=

PC

AC

=

1

2

，即

b

4

=

1

2

，
∴b=2

2）若∠P′AC=90°，（如图2），则四边形P′ACP是矩形，则PP′=AC．
若△P?CA为等腰直角三角形，则：P′A=CA，
∴2a=a+4
∴a=4
∵P′A=PC=AC，△ACP∽△AOB
∴

OB

OA

=

PC

AC

=1，即

b

4

=1
∴b=4

3）若∠P′CA=90°，
则点P′，P都在第一象限内，这与条件矛盾．
∴△P′CA不可能是以C为直角顶点的等腰直角三角形．
②当点P在第二象限时，∠P′CA为钝角（如图3），此时△P′CA不可能是等腰直角三角形；
③当P在第三象限时，∠P′AC为钝角（如图4），此时△P′CA不可能是等腰直角三角形．
所有满足条件的a，b的值为：

a= 4 3 b=2

，

a=4 b=4

．

点评：本题主要考查了梯形的性质，相似三角形的判定和性质以及一次函数的综合应用，要注意的是（3）中，要根据P点的不同位置进行分类求解．