Question

9．如图，一次函数y=ax-1的图象与反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象交于A（3，1），B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D．
（1）求a，k的值及点B的坐标；
（2）直接写出不等式ax-1≥$\frac{k}{x}$的解集；
（3）在x轴上存在一点P，使得△POA与△OAC相似（不包括全等），请你求出点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）把A（3，1）代入一次函数y=ax-1与反比例函数y=$\frac{k}{x}$的解析式中，可得a=$\frac{2}{3}$，k=3，构建方程组即可求出点B坐标；
（2）观察图象一次函数的图象在反比例函数的图象的上方即可，写出相应的自变量的取值范围即可；
（3）如图当∠APO=∠OAC时，又∠AOC=∠POA，推出△AOC∽△POA，可得$\frac{OA}{OP}$=$\frac{OC}{OA}$，即OA²=OC•OP，由此求出OP即可解决问题；

解答 解：（1）把A（3，1）代入一次函数y=ax-1与反比例函数y=$\frac{k}{x}$的解析式中，得到a=$\frac{2}{3}$，k=3，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{x}}\\{y=\frac{2}{3}x-1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{3}{2}}\\{y=-2}\end{array}\right.$，
∴B（-$\frac{3}{2}$，-2）．

（2）观察图象可知不等式ax-1≥$\frac{k}{x}$的解集为-$\frac{3}{2}$≤x＜0或x≥3．

（3）如图当∠APO=∠OAC时，∵∠AOC=∠POA，
∴△AOC∽△POA，
∴$\frac{OA}{OP}$=$\frac{OC}{OA}$，
∴OA²=OC•OP，
易知OA=$\sqrt{10}$，OC=$\frac{3}{2}$，
∴10=$\frac{3}{2}$•OP，
∴OP=$\frac{20}{3}$，
∴P（$\frac{20}{3}$，0）．
∴满足条件的点P的坐标为（$\frac{20}{3}$，0）．

点评 本题考查反比例函数综合题、一次函数的应用、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．