Question

操作：在△ABC中，AC=BC=2，∠C=90°，将一块等腰三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC、CB于D、E两点．如图①、②、③是旋转三角板得到的图形中的3种情况，研究：
（1）三角板绕点P旋转，观察线段PD与PE之间有什么数量关系？并结合图②说明理由．
（2）观察图②与图③，请写出这两个图中的CD、CE与CB之间有什么数量关系？（直接写出答案，不必证明）图②中CD、CE与CB的数量关系：

 

；图③中CD、CE与CB的数量关系：

 

．
（3）三角板绕点P旋转，△PBE是否能成为等腰三角形？若能，指出所有情况（即写出△PBE为等腰三角形时CE的长）；若不能，请说明理由．

Answer 1

考点：几何变换综合题

专题：

分析：（1）因为△ABC是等腰直角三角形，所以连接PC，容易得到△ACP、△CPB都是等腰直角三角形．连接CP，就可以证明△CDP≌△BEP，再根据全等三角形的对应边相等，就可以证明DP=PE；
（2）根据全等三角形的判定与性质，可得CD与BE的关系，根据线段的和差，等量代换，可得答案．
（3）分类讨论：PE=PB，PB=BE，PE=BE，PB=EB，根据两边相等的三角形是等腰三角形，可得答案．

解答：解：（1）连接PC．
∵△ABC是等腰直角三角形，P是AB的中点，
∴CP=PB，CP⊥AB，∠ACP=

1

2

∠ACB=45°．
∴∠ACP=∠B=45°．
又∵∠DPC+∠CPE=∠BPE+∠CPE=90°，
∴∠DPC=∠BPE．
在△PCD和△PBE中，

∠DPC=∠BPE PC=PB ∠PCD=∠B

∴△PCD≌△PBE（ASA），
∴PD=PE；
（2）观察图②与图③，请写出这两个图中的CD、CE与CB之间有什么数量关系？图②中CD、CE与CB的数量关系：CD+CE=CB；
图③中CD、CE与CB的数量关系：CD+BE=CE，
故答案为：CD+BE=CE，CD+BE=CE；
（3）共有四种情况：
①当点C与点E重合，即CE=0时，PE=PB；
②CE=2-

2

，此时PB=BE；
③当CE=1时，此时PE=BE；
④当E在CB的延长线上，且CE=2+

2

时，此时PB=EB．

点评：此题比较复杂，综合考查全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、图形的变换．综合性很强，勾股定理的计算要求也比较高．