分析 由正方形的性质得出∠B=∠ADC=90°,AB=BC=4,∠ACD=45°,由勾股定理求出AC=4$\sqrt{2}$,AB⊥BC,证出PE∥BC,得出O为AC的中点,得出OP=$\frac{1}{2}$BC=2,OC=$\frac{1}{2}$AC=2$\sqrt{2}$,证明A、C、E、D四点共圆,由圆周角定理得出AC为直径,O为圆心,得出OE=OC=2$\sqrt{2}$,于是得到结论.
解答 解:连接AC,BD交于O,如图所示:
当E、P、O共线时,PE=OE-OP最小,
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠B=∠ADC=90°,AB=BC=4,∠ACD=45°,
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=4$\sqrt{2}$,AB⊥BC,
∵PE⊥AB,
∴PE∥BC,
∵P为AB中点,
∴O为AC的中点,
∴OP=$\frac{1}{2}$BC=2,OC=$\frac{1}{2}$AC=2$\sqrt{2}$,
∵∠AED=45°=∠ACD,
∴A、C、E、D四点共圆,
∵∠ADC=90°,
∴AC为直径,O为圆心,
∴OE=OC=2$\sqrt{2}$,
∴PE=OE-OP═2$\sqrt{2}$-2,
即线段PE的最小值是2$\sqrt{2}$-2;
故答案为:2$\sqrt{2}$-2.
点评 本题考查了点与圆的位置关系、正方形的性质、勾股定理、四点共圆、圆周角定理等知识;熟练掌握正方形的性质,证明四点共圆是解决问题的关键.
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A. | 2.777×1010 | B. | 2.777×1011 | C. | 2.777×1012 | D. | 0.2777×1013 |
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A. | 5×107 | B. | 50×106 | C. | 5×106 | D. | 0.5×108 |
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A. | 调查市场上某品牌老酸奶的质量情况 | |
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