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    （2010•邢台一模）如图，在矩形ABCD中，AB=12，AD=10．点Q从点D出发沿DA以每秒1个单位长度的速度向点A匀速运动；点P从点A出发沿AB以每秒2个单位长度的速度向点B匀速运动．伴随P、Q的运动，直线EF保持垂直平分PQ于点F，交射线DC于点E．点P、Q同时出发，当点P到达B点时停止运动，点Q也随之停止．设点P运动时间为t秒（t＞0），△APQ的面积为S．
    （1）求S和t之间的函数关系式；
    （2）t为何值时，直线EF经过点A？
    （3）t为何值时，EF∥AC？
    （4）EF能平分矩形ABCD的面积吗？如果能，请求出此时t的值，如果不能，请说明理由．
    分析：（1）当时间为t时，DQ=t，则AQ=10-t，AP=2t，由三角形的面积公式就可以表示出S和t之间的函数关系式，
    （2）当直线EF经过点A时，根据中垂线的性质建立等量关系，就可以求出其t值，
    （3）根据条件由勾股定理可以求出PQ的值，利用△QGF∽△QPA可以求出GF的值，通过△QGF∽△ACB可以求出其t值．
    （4）利用分得的两部的面积相等找到边相等，利用勾股定理表示出AG的值，由AG=PB建立等量关系求出其他值．
    解答：解：（1）设点P运动时间为t秒（t＞0）时，
    ∴DQ=t，AP=2t，
    ∴AQ=10-t，
    ∴S=
    2t(10-t)
    2
    =-t2+10t（6＞t＞0），

    （2）当直线EF经过点A时，
    ∴AF是线段PQ的垂直平分线，
    ∴AQ=AP，
    ∴2t=10-t，
    ∴t=
    10
    3


    （3）连接GP，
    ∵EF垂直平分PQ，
    ∴GP=GQ，设GQ=a，则GP=a，
    ∴GA=10-t-a，在Rt△APG中，由勾股定理得：
    （2t）2+（10-t-a）2=a2，
    ∴a=
    5t2-20t+100
    20-2t
    ，
    在Rt△APQ中，由勾股定理，得
    （10-t）2+（2t）2=PQ2，
    ∴PQ=
    		5t2-20t+100

    在Rt△ABC中，由勾股定理，得
    AC=
    		244
    ，
    ∵GE∥AC，
    ∴△QGF∽△QPA，△QGF∽△ACB，
    ∴
    QG
    QB
    =
    GF
    AP
    ，
    QG
    AC
    =
    GF
    BC
    ，
    ∴
    5t2-20t+100
    20-2t
    		5t2-20t+100
    =
    GF
    2t
    ，
    ∴GF=
    t
    		5t2-20t+100
    10-t

    ∴
    5t2-20t+100
    20-2t
    		244
    =
    t
    		5t2-20t+100
    10-t
    10
    ，
    解得t1=
    50
    17
    ，t2=-
    50
    7
    （不符合题意，应舍去）

    （4）如图，连接GQ，在Rt△AGQ中，设AG=b，GP=QG=2t-b，AQ=10-t，
    由勾股定理，得（2t-b）2=b2+（10-t）2，
    ∴b=
    4t2-(10-t)2
    4t
    =AG，
    ∵EF平分矩形的面积，
    ∴EF过矩形中心，即AG=EC，
    又AD=BC，
    ∴S矩形ADHG=S矩形PECB，
    又∵AD=PE，
    ∴AD•AG=PE•PB，
    ∴AG=PB，
    ∴
    4t2-(10-t)2
    4t
    =12-2t，解得：
    t1=
    50
    11
    ，t2=-2（不符合题意，应舍去）
    点评：本题考查了矩形的性质，中垂线的性质，面积公式的运用，勾股定理的运用．
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