Question

13．综合与实践：
问题情景：已知等腰Rt△ABC和等腰Rt△AED，∠AED=∠ACB=90°，点M，N分别是DB，EC的中点，连接MN．
问题：
（1）如图1，当点E在AB上，且点C和点D恰好重合时，探索MN与EC的数量关系，并加以证明；
（2）如图2，当点D在AB上，点E在△ABC外部时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由．
拓展探究：
（3）如图3，将图2中的等腰Rt△AED绕点A逆时针旋转n°（0＜n＜90），请猜想MN与EC的位置关系和数量关系．（不必证明）

Answer 1

分析 （1）利用等腰直角三角形的性质以及三角形中位线定理，得出得出MN与EC的数量关系；
（2）先连接EM并延长至点F，使MF=EM，判定△EDM≌△FBM，进而运用SAS判定△EAC≌△FBC，即可得出FC=EC，再利用三角形中位线定理，得出MN与FC的数量关系，进而得出结论；
（3）先延长DN到G，使DN=GN，连接CG，延长DE、CA交于点K，再通过判定△EDN≌△CGN和△CAE≌△BCG，进而得出结论．

解答 解：（1）MN与EC的数量关系为MN=$\frac{1}{2}$EC，
证明：∵点M，N分别是DB，EC的中点，
∴MN=$\frac{1}{2}$EB，
∵等腰Rt△AED，∠AED=∠ACB=90°，
∴∠B=∠ACE=45°，
∴∠BCE=90°-45°=45°，
∴BE=CE，
∴MN=$\frac{1}{2}$EC；

（2）成立
证明：如图2，连接EM并延长至点F，使MF=EM，连接CF，BF，
在△EDM和△FBM中，
$\left\{\begin{array}{l}{DM=BM}\\{∠EMD=∠FMB}\\{EM=FM}\end{array}\right.$，
∴△EDM≌△FBM（SAS），
∴BF=DE=AE，∠FBM=∠EDM，
∵△AED为等腰直角三角形，∠AED=∠ACB=90°，
∴∠BAC=∠ABC=45°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠EAD=∠EDA=∠BAC=∠ABC=45°，AC=BC，
∴∠FBM=∠EDM=135°，
∴∠FBC=∠EAC=90°，
在△EAC和△FBC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=BF}\\{∠EAC=∠FBC}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△EAC≌△FBC（SAS），
∴FC=EC，
又∵点M，N分别是EF，EC的中点，
∴MN=$\frac{1}{2}$FC，
∴MN=$\frac{1}{2}$EC；

（3）MN与EC的位置关系为：MN⊥EC，数量关系为：MN=$\frac{1}{2}$EC．

点评 本题主要考查了几何变换变换中的旋转变换，解决问题的关键是掌握三角形中位线定理以及全等三角形的判定和性质．解决此类试题时，需要灵活运用等腰直角三角形的性质，并且需要经过中点作辅助线构造全等三角形．