Question

19．将两个等腰Rt△ADE，Rt△ABC（其中∠DAE=∠ABC=90°，AB=BC，AD=AE）如图放置在一起，点E在AB上，AC与DE交于点H，连接BH、CE，且∠BCE=15°，下列结论：
①AC垂直平分DE；
②CDE为等边三角形；
③tan∠BCD=$\frac{AB}{BE}$；
④$\frac{{S}_{△EBC}}{{S}_{△EHC}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$
正确的结论是（　　）

• A． 只有①②
• B． 只有③④
• C． 只有①②④
• D． ①②③④

Answer 1

分析 利用等腰直角三角形的性质得出∠DAC=∠BAC即可判断出①正确；再用等腰直角三角形的内角的关系即可得出∠DCE=60°，即可得出②正确，判断出∠BCD=75°=∠BEC即可判断出③正确，设出AH=x，利用等腰直角三角形和等边三角形的性质即可得出CH，EH，AB，BE最后用三角形的面积公式即可得出④正确．

解答 解：∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，
∴∠BAC=∠ACB=45°，∠DAE=90°，
∴∠DAC=∠BAC=45°，
∵AD=AE，
∴AC垂直平分DE，∴①正确，

∵AC垂直平分DE，
∴DC=EC，∠DAC=∠EAC，
∵∠BCE=15°，
∴∠ACE=30°，
∴∠DCE=2∠ACE=60°，
∴△CDE是等边三角形，∴②正确；

∵∠DCE=60°，∠BCE=15°，
∴∠BCD=75°，
∵∠BEC=90°-15°=75°，
∴∠BCD=∠BEC，
在Rt△BCE中，tan∠BEC=$\frac{BC}{BE}$=$\frac{AB}{BE}$，
∴tan∠BCD=$\frac{AB}{BE}$，∴③正确；
设AH=x，
在Rt△AEH中，HE=AH=x，AE=$\sqrt{2}$x，
在Rt△CEH中，∠ECH=30°，
∴CH=$\sqrt{3}$EH=$\sqrt{3}$x，CE=2HE=2x，
∴AC=AH+CH=（$\sqrt{3}$+1）x，
在Rt△ABC中，BC=AB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（$\sqrt{3}$+1）x=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$x，
∴BE=AB-AE=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$x，
∴S_△BCE=$\frac{1}{2}$BE•BC=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}$x•$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$x=$\frac{1}{2}$x²
S_△EHC=$\frac{1}{2}$EH•CH=$\frac{1}{2}$x•$\sqrt{3}$x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x²，∴$\frac{{S}_{△BCE}}{{S}_{△EHC}}=\frac{\frac{1}{2}{x}^{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}{x}^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，∴④正确，
即：正确的有①②③④，
故选D．

点评 此题是三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质和判定，含30°的直角三角形的性质，线段的垂直平分线的性质和判定，勾股定理，解本题的关键是灵活运用特殊三角形的性质；是一道基础题目．