Question

9．如图，已知直线y=3x-3分别交x轴、y轴于A、B两点，抛物线y=x²+bx+c经过A、B两点，点C是抛物线与x轴的另一个交点，该抛物线的对称轴与x轴交于点E．
（1）直接写出抛物线的解析式为y=x²+2x-3；
（2）以点E为圆心的⊙E与直线AB相切，求⊙E的半径；
（3）连接BC，点P是第三象限内抛物线上的动点，连接PE交线段BC于点D，当△CED为直角三角形时，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）先利用一次函数解析式求出A点和B点坐标，再把A点和B点坐标代入y=x²+bx+c得关于b、c的方程组，然后解方程组求出b、c即可得到抛物线解析式；
（2）作EH⊥AB于H，如图1，先利用勾股定理计算出AB，再利用切线的性质得EH为⊙E的半径，然后证明Rt△EAH∽Rt△BAO，则可利用相似比计算出EH；
（3）先通过确定C点坐标可得到OC=OB=3，则可判断△OBC为等腰直角三角形，所以∠OCB=45°，分类讨论：当∠CDE=90°，则△CDE为等腰直角三角形，作DF⊥CE于F，如图2，根据等腰直角三角形的性质得DF=EF=CF=$\frac{1}{2}$CE=1，则可确定D（-2，-1），再利用待定系数法求出直线OD的解析式为y=x+1，然后通过解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{y={x}^{2}+2x-3}\end{array}\right.$可得到此时P点坐标；当∠CED=90°时，EP∥y轴，此时P点为抛物线的顶点．

解答 解：（1）当y=0时，3x-3=0，解得x=1，则A（1，0），
当x=0时，y=3x-3=-3，则B（0，-3），
把A（1，0），B（0，-3）代入y=x²+bx+c得$\left\{\begin{array}{l}{1+b+c=0}\\{c=-3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
所以抛物线解析式为y=x²+2x-3；
故答案为y=x²+2x-3；
（2）作EH⊥AB于H，如图1，
∵y=x²+2x-3=（x+1）²-4，
∴抛物线的对称轴为直线x=-1，则E（-1，0）
∵A（1，0），B（0，-3），
∴AB=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∵以点E为圆心的⊙E与直线AB相切，
∴EH为⊙E的半径，
∵∠EAH=∠BAO，
∴Rt△EAH∽Rt△BAO，
∴EH：OB=EA：AB，即EH：3=2：$\sqrt{10}$，解得EH=$\frac{3\sqrt{10}}{5}$，
即⊙E的半径为$\frac{3\sqrt{10}}{5}$；
（3）当y=0时，x²+2x-3=0，解得x₁=-3，x₂=1，则C（-3，0），
∵OC=OB=3，
∴△OBC为等腰直角三角形，
∴∠OCB=45°，
当∠CDE=90°，则△CDE为等腰直角三角形，作DF⊥CE于F，如图2，则DF=EF=CF=$\frac{1}{2}$CE=1，
∴D（-2，-1），
设直线OD的解析式为y=mx+n，
把E（-1，0），D（-2，-1）代入得$\left\{\begin{array}{l}{-m+n=0}\\{-2m+n=-1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=1}\\{n=1}\end{array}\right.$，
∴直线OD的解析式为y=x+1，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{y={x}^{2}+2x-3}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{-1+\sqrt{17}}{2}}\\{y=\frac{1+\sqrt{17}}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{-1-\sqrt{17}}{2}}\\{y=\frac{1-\sqrt{17}}{2}}\end{array}\right.$，
∴P点坐标为（$\frac{-1-\sqrt{17}}{2}$，$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$）；
当∠CED=90°时，EP∥y轴，此时P点坐标为（-1，-4），
综上所述，满足条件的P点坐标为（-1，-4）或（$\frac{-1-\sqrt{17}}{2}$，$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$）．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数的性质、切线的性质和等腰直角三角形的性质；会运用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．