Question

（2013•石景山区二模）（1）如图1，把抛物线y=-x²平移后得到抛物线C₁，抛物线C₁经过点A（-4，0）和原点O（0，0），它的顶点为P，它的对称轴与抛物线y=-x²交于点Q，则抛物线C₁的解析式为

y=-x²-4x

；图中阴影部分的面积为

8

．
（2）若点C为抛物线C₁上的动点，我们把∠ACO=90°时的△ACO称为抛物线C₁的内接直角三角形．过点B（1，0）做x轴的垂线l，抛物线C₁的内接直角三角形的两条直角边所在直线AC、CO与直线l分别交于M、N两点，以MN为直径的⊙D与x轴交于E、F两点，如图2．请问：当点C在抛物线C₁上运动时，线段EF的长度是否会发生变化？请写出并证明你的判断．

Answer 1

分析：（1）抛物线C₁与抛物线y=-x²的二次项系数相同，利用待定系数法即可求得函数的解析式，图中阴影部分的面积与△POQ的面积相同，利用三角形面积公式即可求解；
（2）易证△ABM∽△NBO，可以证得MB•NB=AB•BO=5，然后证明△MBF∽△FBN，证得BF²=MB•NB=5，即可求得BF的长，则EF即可求得．

解答：（1）解：抛物线C₁的解析式为y=-（x-0）（x+4）=-x²-4x；
图中阴影部分的面积与△POQ的面积相同，S△POQ=

1

2

×8×2=8．
∴阴影部分的面积为8．

（2）由题意可知，抛物线C₁只存在两个内接直角三角形．
当点C在抛物线C₁上运动时线段EF的长度不会发生变化．
证明：∵MN为⊙D的直径，EF⊥MN
∴BE=BF，∠OBN=∠MBF=∠MBA=90°
∵∠MAB=∠CNM，
∴△ABM∽△NBO
∴

MB

BO

=

AB

NB

，MB•NB=AB•BO=5
连接FM，FN，∠MFN=90°，在△MBF和△FBN中，∠BMF=∠BFN，∠MBF=∠FBN=90°
∴△MBF∽△FBN
∴

BF

BN

=

BM

BF

∴BF²=MB•NB=5，BF=

5

∴EF=2

5

．

点评：本题是待定系数法求函数的解析式以及相似三角形的判定与性质的综合应用，正确求得BF的长是关键．