【题目】已知抛物线y=a(x+3)(x﹣1)(a≠0),与x轴从左至右依次相交于A、B两点,与y轴相交于点C,经过点A的直线y=﹣x+b与抛物线的另一个交点为D.
(1)若点D的横坐标为2,求抛物线的函数解析式;
(2)若在第三象限内的抛物线上有点P,使得以A、B、P为顶点的三角形与△ABC相似,求点P的坐标;
(3)在(1)的条件下,设点E是线段AD上的一点(不含端点),连接BE.一动点Q从点B出发,沿线段BE以每秒1个单位的速度运动到点E,再沿线段ED以每秒个单位的速度运动到点D后停止,问当点E的坐标是多少时,点Q在整个运动过程中所用时间最少?
【答案】(1) y=﹣x2﹣2
x+3
;(2) P的坐标为(﹣4,﹣
)和(﹣6,﹣
);(3) (1,﹣4
).
【解析】
试题分析:(1)根据二次函数的交点式确定点A、B的坐标,求出直线的解析式,求出点D的坐标,求出抛物线的解析式;(2)作PH⊥x轴于H,设点P的坐标为(m,n),分△BPA∽△ABC和△PBA∽△ABC,根据相似三角形的性质计算即可;(3)作DM∥x轴交抛物线于M,作DN⊥x轴于N,作EF⊥DM于F,根据正切的定义求出Q的运动时间t=BE+EF时,t最小即可.
试题解析:(1)∵y=a(x+3)(x﹣1),
∴点A的坐标为(﹣3,0)、点B两的坐标为(1,0),
∵直线y=﹣x+b经过点A,
∴b=﹣3,
∴y=﹣x﹣3
,
当x=2时,y=﹣5,
则点D的坐标为(2,﹣5),
∵点D在抛物线上,
∴a(2+3)(2﹣1)=﹣5,
解得,a=﹣,
则抛物线的解析式为y=﹣(x+3)(x﹣1)=﹣
x2﹣2
x+3
;
(2)作PH⊥x轴于H,
设点P的坐标为(m,n),
当△BPA∽△ABC时,∠BAC=∠PBA,
∴tan∠BAC=tan∠PBA,即=
,
∴=
,即n=﹣a(m﹣1),
∴,
解得,m1=﹣4,m2=1(不合题意,舍去),
当m=﹣4时,n=5a,
∵△BPA∽△ABC,
∴=
,即AB2=ACPB,
∴42=,
解得,a1=(不合题意,舍去),a2=﹣
,
则n=5a=﹣,
∴点P的坐标为(﹣4,﹣);
当△PBA∽△ABC时,∠CBA=∠PBA,
∴tan∠CBA=tan∠PBA,即=
,
∴=
,即n=﹣3a(m﹣1),
∴,
解得,m1=﹣6,m2=1(不合题意,舍去),
当m=﹣6时,n=21a,
∵△PBA∽△ABC,
∴=
,即AB2=BCPB,
∴42=,
解得,a1=(不合题意,舍去),a2=﹣
,
则点P的坐标为(﹣6,﹣),
综上所述,符合条件的点P的坐标为(﹣4,﹣)和(﹣6,﹣
);
(3)作DM∥x轴交抛物线于M,作DN⊥x轴于N,作EF⊥DM于F,
则tan∠DAN==
=
,
∴∠DAN=60°,
∴∠EDF=60°,
∴DE==
EF,
∴Q的运动时间t=+
=BE+EF,
∴当BE和EF共线时,t最小,
则BE⊥DM,E(1,﹣4).
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【题目】某路公交车从起点站出发依次经过A、B、C站到达终点站,各站上、下乘客人数如下表所示(记上车人数为正,下车人数为负).
(1)表格中的值是 ;
(2)若此公交车采用一票制,即每位上车乘客无论哪站下车,车票都是2元,问该车这次出车共收入多少元?请列式计算.
(3)通过列式计算,公交车行驶在哪两站之间时车上的乘客最多?最多乘客人数是多少?
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【题目】某中学数学兴趣小组为了解本校学生对电视节目的喜爱情况,随机调查了部分学生最喜爱哪一类节目(被调查的学生只选一类并且没有不选择的),并将调查结果制成了如下的两个统计图(不完整).请你根据图中所提供的信息,完成下列问题:
(1)本次调查的学生人数为__________,娱乐节目在扇形统计图中所占圆心角的度数是__________度.
(2)请将条形统计图补充完整:
(3)若该中学有2000名学生,请估计该校喜爱动画节目的人数.
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【题目】定义:如图l所示,给定线段MN及其垂直平分线上一点P。若以点P为圆心,PM为半径的优弧(或半圆弧)MN上存在三个点可以作为一个等边三角形的顶点,则称点P为线段MN的“三足点”,特别的,若这样的等边三角形只存在一个,则称点P为线段MN的“强三足点”。
问题:如图2所示,平面直角坐标系xOy中,点A的坐标为(2,0),点B在射线y=
x(x≥0)上。
(1)在点C(,0),D(
,1),E(
,-2)中,可以成为线段OA的“三足点”的是__________.
(2)若第一象限内存在一点Q既是线段OA的“三足点”,又是线段OB的“强三足点”,求点B的坐标。
(3)在(2)的条件下,以点A为圆心,AB为半径作圆,假设该圆与x轴交点中右侧一个为H,圆上一动点K从H出发,绕A顺时针旋转180°后停止,设点K出发后转过的角度为(0°<
≤180°),若线段OB与AK不存在公共“三足点”,请直接写出
的取值范围是_______________。
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【题目】 (用如图所示的曲尺形框框(有三个方向),可以套住下表中的三个数,设被框住的三个数中(第一个框框住的最小的数为a、第二个框框住的最小的数为b、第三个框框住的最小的数为c).
(1)第一个框框住的三个数中最小的数为a,三个数的和是: ;第二个框框住的三个数中最小的数为b,三个数的和是: ;第三个框框住的三个数中最小的数为c,三个数的和是: ;
(2)这三个框框住的数的和能是48吗?,能,求出最小的数a、b、c的值.
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【题目】如图,矩形ABCD中,CD=6,E为BC边上一点,且EC=2将△DEC沿DE折叠,点C落在点C'.若折叠后点A,C',E恰好在同一直线上,则AD的长为( )
A.8B.9C.D.10
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【题目】在下列四项调查中,方式正确的是
A. 了解本市中学生每天学习所用的时间,采用全面调查的方式
B. 为保证运载火箭的成功发射,对其所有的零部件采用抽样调查的方式
C. 了解某市每天的流动人口数,采用全面调查的方式
D. 了解全市中学生的视力情况,采用抽样调查的方式
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【题目】两辆汽车从相距84 km的两地同时出发相向而行,甲车的速度比乙车的速度快20 km/h,半小时后两车相遇.
(1)求乙车的速度是每小时多少千米?
(2)甲车的速度是_______ km/h;
(3)两车相遇时,甲车比乙车多行驶________千米.
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【题目】为响应党的“文化自信”号召,某校开展了古诗词诵读大赛活动,现随机抽取部分同学的成绩进行统计,并绘制成如下的两个不完整的统计图,请结合图中提供的信息,解答下列问题:
(1)填空:样本容量为________,________;
(2)把频数分布直方图补充完整;
(3)求扇形的圆心角度数;
(4)如果全校有2000名学生参加这次活动,90分以上(含90分)为优秀,那么估计获得优秀奖的学生有多少人?
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