Question

如图1，点A在y轴的正半轴上，以OA为边作等边三角形AOC．
（1）点B是x轴正半轴上的一个动点，如图1当点B移动到点D的位置时，连接AD，请你在第一象限内确定点E，使△ADE是等边三角形（保留作图痕迹，不写作法和证明）．
（2）在（1）的条件下，在点B的运动过程中，∠ACE的大小是否发生变化？若不变，求出其度数；若变化，请说明理由．
（3）如图2，把你在（1）中所作的正△ADE绕点A逆时针旋转，使点E落在y轴的正半轴上E′的位置，得到正△AE′D′，连接CE′、OD′交于点F．现在给出两个结论：①AF平分∠CAD′；②FA平分∠OFE′，其中有且只有一个结论是正确的，请你判断哪个结论是正确的，并进行证明．

Answer 1

分析：（1）分别以A和D为圆心，AD为半径画弧，取在第一象限的交点E，连接AE、DE即可；
（2）根据等边三角形性质得出AD=AE，AO=AC，∠OAD+∠CAD=∠CAE+∠CAD=60°，推出∠OAD=∠CAE，根据SAS证△ACE≌△AOD，推出∠ACE=∠AOD即可；
（3）②FA平分∠OFE′是正确的，根据等边三角形性质推出△CAE′≌△OAD′，推出AN=AM，根据角平分线性质推出即可；根据等腰三角形的性质推出∠FAE′≠∠FAO，根据等边三角形性质推出∠E′AD′=∠CAO，即可推出①是错误的．

解答：（1）解：如下图：分别以A和D为圆心，AD为半径画弧，取在第一象限的交点E，连接AE、DE，则三角形ADE是所求的等边三角形．
（2）∠ACE的大小不发生变化，总等于90°，
理由：
根据题意，有AD=AE，AO=AC，
∠OAD+∠CAD=∠CAE+∠CAD=60°，
∴∠OAD=∠CAE，
在△ACE和△AOD中

AE=AD ∠EAC=∠OAD AO=AC

，
∴△ACE≌△AOD（SAS）
∴∠ACE=∠AOD=90°，
即∠ACE的大小不发生变化，总等于90°．

（3）解：第二个结论②FA平分∠OFE′是正确的，
理由是：过A分别作AM⊥OD′于M，AN⊥CE′于N，
在△OAD′和△CAE′中

AE′=AD′ ∠E′AC=∠D′AO AO=AC

，
∵△OAD′≌△CAE′（SAS），
∴CE′=OD′，
∴AM=AN（全等三角形的对应边上的高相等），
∵AN⊥CE′，AM⊥OD′，
∴∠AFN=∠AFM，
即FA平分∠OFE，∴②正确；
∵FE和OF不相等，
∴∠FAE不一定等于∠FAO，
∵∠EAD′=∠CAO=60°，
∴∠D′AF不一定等于∠FAC，
∴①错误；
即只有②正确．

点评：本题考查了对等边三角形的性质，坐标与图形性质，角平分线定义，作图-复杂图形，旋转性质，全等三角形的性质和判定等知识点的应用，此题综合性比较强，有一点难度，主要培养学生分析问题和解决问题的能力．