Question

如图1，直线AB分别交坐标轴交于A（-1，0）、B（0，1）两点，与反比例函数y=

m

x

（x＞0）的图象交于点C（2，n）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）如图2，在y轴上取点D（0，3），点E为直线x=1上的一动点，则x轴上是否存在一点F，使D、B、F、E四点所围成的四边形周长最小？若存在，求出这个最小值及点E、F的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图3，将直线y=-x向上平移，与坐标轴分别交于点P、Q，与y=

m

x

（x＞0）相交于点M、N，若MN=5PM，求直线PQ的解析式．

Answer 1

分析：（1）先利用待定系数法确定直线AB的解析式为y=x+1，再把点C（2，n）代入y=x+1求出n，则C点坐标为（2，3），然后利用待定系数法确定反比例函数解析式；
（2）作B点关于x轴的对称点B′，则B′（0，-1），连结CB′交直线x=1于E点，x交轴于F，根据D点与C点坐标得到点D与点C关于直线x=1对称，则ED=EC，由B点关于x轴的对称点B′得到FB=FB′，根据两点之间线段最短得到此时四边形BFED的周长为D、B、F、E四点所围成的四边形周长的最小值，然后根据两点之间的距离公式计算出CB′=2

5

，从而得到最小周长=2+2

5

；再待定系数法求出直线CB′的解析式为y=2x-1，则把x=1或y=0分别代入y=2x-1可得到E点和F点坐标；
（3）过点M、N分别作x轴的垂线，垂足分别为点H、Q，根据平行线分线段成比例定理得到OH：HG=MP：MN，而MN=5PM，所以HG=5OH，设M点坐标为（t，

6

t

），则N（6t，

1

t

），设直线PQ的解析式为y=-x+p，然后M点、N点坐标代入得到关于t与p的方程组，再解方程组即可．

解答：解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，
把（-1，0）、B（0，1）代入得

-k+b=0 b=1

，解得

k=1 b=1

，
∴直线AB的解析式为y=x+1，
把点C（2，n）代入y=x+1得n=2+1=3，
∴C点坐标为（2，3），
把点C（2，3）代入y=

k

x

得k=2×3=6，
∴反比例函数解析式为y=

6

x

；

（2）存在．
作B点关于x轴的对称点B′，则B′（0，-1），连结CB′交直线x=1于E点，x交轴于F，如图2，
∵D（0，3），C（2，3），
∴点D与点C关于直线x=1对称，
∴ED=EC，
∵B点关于x轴的对称点B′，
∴FB=FB′，
∴此时D、B、F、E四点所围成的四边形周长最小，最小值=BD+BF+FE+EC=BD+B′C=2+

(2-0)2+(3+1)2

=2+2

5

；
设直线CB′的解析式为y=mx+n，
把C（2，3）、B′（0，-1）代入

2m+n=3 n=-1

，解得

m=2 n=-1

，
∴直线CB′的解析式为y=2x-1，
当x=1时，则y=2-1=1；当y=0时，2x-1=0，解得x=

1

2

，
∴点E坐标为（1，1），点F坐标为（

1

2

，0）；

（3）过点M、N分别作x轴的垂线，垂足分别为点H、Q，如图3，
∵OP∥MH∥NG，
∴OH：HG=MP：MN，
而MN=5PM，
∴HG=5OH，
设M点坐标为（t，

6

t

），则N（6t，

1

t

），
设直线PQ的解析式为y=-x+p，
∵M（t，

6

t

），N（6t，

1

t

）在直线PQ上，
∴

-t+p= 6 t -6t+p= 1 t

，解得

t=1 p=7

或

t=-1 p=-5

（舍去），
∴直线PQ的解析式为y=-x+7．

点评：本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象上点的坐标特征待定系数法求函数解析式和平行线分线段成比例定理；运用两点之间线段最短解决最短路径问题；熟练运用两点间的距离公式计算线段的长．