Question

如图，已知二次函数y=ax²+bx+c的图象的顶点为M（2，1），且过点N（3，2）．
（1）求这个二次函数的关系式；
（2）若一次函数y=-

4

3

x-4的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，P为抛物线上的一个动点，过点P作PQ∥y轴交直线AB于点Q，以PQ为直径作圆交直线AB于点D．设点P的横坐标为n，问：当n为何值时，线段DQ的长取得最小值？最小值为多少？

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）根据函数的顶点坐标为M（2，1），则设函数的解析式是：y=a（x-2）²+1，把N的坐标代入解析式即可求得函数的解析式；
（2）由题意知P（n，n²-4n+5），Q（n，-

4

3

n-4）． 根据两点之间的距离公式得到当n=

4

3

时，PQ取得最小值为

65

9

．再根据相似三角形的性质即可求解．

解答：解：（1）设这个二次函数的关系式为y=a（x-2）²+1．
把x=3，y=2代入得a+1=2，解得a=1．
故这个二次函数的关系式为y=（x-2）²+1（或写成y=x²-4x+5）．

（2）由题意知P（n，n²-4n+5），Q（n，-

4

3

n-4）． 
∴PQ=n²-4n+5-（-

4

3

n-4）=n²-

8

3

n+9=（n-

4

3

）²+

65

9

． 
∴当n=

4

3

时，PQ取得最小值为

65

9

．
易证△DPQ∽△OAB，
∴

DQ

PQ

=

OB

AB

，
∴DQ=

4

5

PQ．
∴当n=

4

3

时，DQ取得最小值，为

52

9

．

点评：本题考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：待定系数法求二次函数的解析式，两点之间的距离公式，函数的最值，相似三角形的性质，综合性较强，有一定的难度．