Question

4．已知，AB是⊙O的直径，BC是弦，直线CD是⊙O的切线，切点为C，BD⊥CD．

（1）如图1，求证：BC平分∠ABD；
（2）如图2，延长DB交⊙O于点E，求证：$\widehat{AC}$=$\widehat{EC}$；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接EA并延长至F，使EF=AB，连接CF、CE，若tan∠FCE=$\frac{12}{7}$，BC=5，求AF的长．

Answer 1

分析 （1）如图1中，欲证明BC平分∠ABD，只要证明∠CBD=∠CBO，只要证明BD∥OC即可．
（2）如图2中，连接AE，连接CO并延长交AE于M欲证明$\widehat{AC}$=$\widehat{EC}$，只要证明CM⊥AE即可．
（3）如图3中，连接AC，连接CO并延长交AE于M，过F作FH⊥CE于H，首先证明△FHE≌△ACB，根据tan∠FCE=$\frac{FH}{CH}$=$\frac{12}{7}$，设FH=12k，CH=7k，列出方程求出k，通过解直角三角形分别求出EF、AE即可解决问题．

解答 （1）证明：如图1中，连接OC，
∵AB是⊙O直径，DC是⊙O切线，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD=90°，∵BD⊥CD，∴∠D=90°，
∴∠OCD+∠D=180°，
∴OC∥BD，
∴∠OCB=∠CBD，
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC，
∴∠OBC=∠CBD，
∴BC平分∠OBD．
（2）证明：如图2中，连接AE，连接CO并延长交AE于M．
∵AB是直径，
∴∠AEB=90°，
∵CM∥DB，
∴∠AMC=∠AEB=90°，
∴CM⊥AE，
∴∠AMC=∠AEB=90°，
∴CM⊥AE，且CM经过圆心O，
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{EC}$．
（3）解：如图3中，连接AC，连接CO并延长交AE于M，过F作FH⊥CE于H，
∵FH⊥CE，
∴∠FHE=∠FHC=90°，
由（2）可知∠AMC=90°，
∴∠CME=90°，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠FHE=∠ACB=90°，
∵FH=AB，∠FEH=∠ABC，
∴△FHE≌△ACB，
∴FH=AC，EH=BC，
在RT△FHC中，tan∠FCE=$\frac{FH}{CH}$=$\frac{12}{7}$，设FH=12k，CH=7k，
∴FH=AC=12k，
∵$\widehat{AC}$=$\widehat{EC}$，
∴CE=AC=12k，
∴EH=BC=5k，
∵BC=5，
∴5k=5，
∴k=1，∴AC=12，
在RT△ACB中，AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=13，∴AB=EF=13，
在RT△ACB中，sin∠ABC=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{12}{13}$，∵∠ABC=∠CBD，
在RT△CBD中，sin∠CBD=$\frac{CD}{BC}$=$\frac{12}{13}$，∴CD=$\frac{60}{13}$，
∵∠AED=∠D=∠ACB=90°，
∴四边形CMED是矩形，
∴CD=ME=$\frac{60}{13}$，
∴AM=ME，
∴AE=2ME=$\frac{120}{13}$，
∴AF=EF-AE=$\frac{49}{13}$．

点评 本题考查圆综合题、切线的性质、垂径定理、勾股定理、三角函数、全等三角形的判定和性质等知识，解题关键是添加辅助线构造全等三角形，灵活运用圆的有关性质解决问题，属于中考常考题型．