Question

16．如图1，抛物线l₁；y=ax²+bx+c（a＜0）经过原点，与x轴的另一个交点为B（4，0），点A为顶点，且直线OA的解析式为y=x．

（1）如图1，求抛物线l₁的解析式；
（2）如图2，将抛物线l₁绕原点O旋转180°，得到抛物线l₂，l₂与x轴交于点B′，顶点为A′，点P为抛物线l₁上一动点，连接PO交l₂于点Q，连接PA、PA′、QA′、QA．
请求：平行四边形PAQA′的面积S与P点横坐标x（2＜x≤4）之间的关系式；
（3）在（2）的条件下，如图11-3，连接BA′，抛物线l₁或l₂上是否存在一点H，使得HB=HA′？若存在，请求出点H的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据O、B关于对称轴对称，可得OD的长，根据A在直线y=x上，可得A点坐标，根据待定系数法，可得答案；
（2）根据平行四边形的性质，可得S_{平行四边形PAQA′}=4S_△AOP，根据平行于x轴的直线上两点间的距离是较大的横坐标减较小的横坐标，可得PF的长，根据三角形的面积，可得答案；
（3）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得H在线段A′B的垂直平分线上，根据解方程组，可得H点的坐标．

解答 解：（1）如图1，

过A作AD⊥OB于D点，
∵抛物线l₁：y=ax²+bx+c（a＜0）过原点和B（4，0）．
顶点为A．OD=$\frac{1}{2}$OB=2．
又∵直线OA的解析式为y=x，
∴AD=OD=2．
∴点A的坐标为（2，2），
将A、B、O的坐标代入y=ax²+bx+c（a＜0）中，
$\left\{\begin{array}{l}{2a+2b=2}\\{16a+4b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴抛物线C的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²+2x；
（2）如图2，
，
∵AO=A′O，PO=OQ，
∴四边形PAQA′是平行四边形，
∴S_{平行四边形PAQA′}=4S_△AOP．
过点P作PE⊥y轴于E交AO于F．
设P（x，-$\frac{1}{2}$x²+2x），则F（-$\frac{1}{2}$x²+2x，-$\frac{1}{2}$x²+2x），
若P点在抛物线AB段（2＜x≤4）时，S_△AOP=$\frac{1}{2}$|x_P-x_F|×|y_A|=$\frac{1}{2}$[x-（-$\frac{1}{2}$x²+2x）]×2=$\frac{1}{2}$x²-x，
则S_{平行四边形PAQA′}=4S_△AOP=2x²-4x（2＜x≤4）；
（3）如图3，
，
作A′B的垂直平分线l，分别交A′B、x轴于M、N（n，0），由旋转的性质，得l₂的顶点坐标A′（-2，-2），
故A′B的中点M的坐标（1，-1）．
作MT⊥x轴于T，在Rt△NMB中，MT⊥NB于T，
∠NMT+∠BMT=90°，∠TBM+∠BMT=90°，
∴∠NMT=∠TBM，
又∵∠NTM=∠BTM=90°，
∴△MTN∽△BTM，
$\frac{TN}{TM}$=$\frac{TM}{TB}$，
MT²=TN•TB，即1²=（1-n）（4-1）．
∴n=$\frac{2}{3}$，即N点的坐标为（$\frac{2}{3}$，0）．
直线l过点M（1，-1）、N（$\frac{2}{3}$，0），
∴直线l的解析式为y=-3x-2．
解$\left\{\begin{array}{l}{y=-3x+2}\\{y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+2x}\end{array}\right.$，得x=5$±\sqrt{21}$．
在抛物线l₁上存在两点使得HB=HA′，其坐标分别为（5+$\sqrt{21}$，-13-3$\sqrt{21}$），（5-$\sqrt{21}$，-13-3$\sqrt{21}$）．
解$\left\{\begin{array}{l}{y=-3x+2}\\{y=\frac{1}{2}{x}^{2}+2x}\end{array}\right.$得x=-5$±\sqrt{29}$，在抛物线l₂上存在两点使得HB=HA′，其坐标分别为（-5+$\sqrt{29}$，17-3$\sqrt{29}$），（-5-$\sqrt{29}$，17+3$\sqrt{29}$）；
综上所述：（5+$\sqrt{21}$，-13-3$\sqrt{21}$），（5-$\sqrt{21}$，-13-3$\sqrt{21}$），（-5+$\sqrt{29}$，17-3$\sqrt{29}$），（-5-$\sqrt{29}$，17+3$\sqrt{29}$）．

点评 本题考查了二次函数综合题，利用函数值相等点关于关于对称轴对称得出OD是解题关键；利用平行四边形的性质得出S_{平行四边形PAQA′}=4S_△AOP是解题关键；利用线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得出H在线段A′B的垂直平分线上是解题关键，又利用了解方程组得出H点的坐标．