Question

【题目】如图，在正方形ABCD中，点P在线段CB的延长线上，连接PA，将线段PA绕点P顺时针旋转90°，得到线段PE，连接CE，过点E作EF⊥BC于H，与对角线AC交于点F．

（1）请根据题意补全图形；

（2）求证：EH＝FH．

Answer 1

【答案】（1）图见解析；（2）证明见解析．

【解析】

（1）根据题意画出对应的几何图形即可；

（2）先根据题意和正方形的性质推出FH＝CH，再根据旋转的性质和AAS证明△APB≌△PEH，得到PB＝EH，PH＝AB，然后利用等线段代换即可得到结论．

（1）解：如图.

（2）证明：∵四边形ABCD为正方形，

∴AB＝BC，∠ABC＝90°，∠ACB＝45°，

∴△CFH为等腰直角三角形，

∴FH＝CH，

∵线段PA绕点P顺时针旋转90°，得到线段PE，EF⊥BC，

∴PA＝PE，∠APE＝∠PHE =∠ABC =90°，

∵∠APB+∠HPE＝90°，∠APB+∠PAB＝90°，

∴∠PAB＝∠HPE，

∴△APB≌△PEH（AAS），

∴PB＝EH，PH＝AB，

∴PH＝BC，

∴PB＝CH，

∴CH＝HE，

∴EH＝FH．