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    3．某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：如图1，等腰直角△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，小敏将三角板中含45°角的顶点放在A上，斜边从AB边开始绕点A逆时针旋转一个角α，其中三角板斜边所在的直线交直线BC于点D，直角边所在的直线交直线BC于点E．
    （1）小敏在线段BC上取一点M，连接AM，旋转中发现：若AD平分∠BAM，则AE也平分∠MAC．请你证明小敏发现的结论；
    （2）当0°＜α≤45°时，小敏在旋转中还发现线段BD、CE、DE之间存在如下等量关系：BD2+CE2=DE2．同组的小颖和小亮随后想出了两种不同的方法进行解决：
    小颖的想法：将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF，连接EF（如图2）；
    小亮的想法：将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACG，连接EG（如图3）；
    请你从中任选一种方法进行证明．
    （3）小敏继续旋转三角板，请你继续研究：当135°＜α＜180°时（如图4），等量BD2+CE2=DE2是否仍然成立？请作出判断，不需要证明．

    分析 （1）如图1，根据图形、已知条件推知∠BAD+∠MAE=∠DAM+∠EAC=45°，所以∠MAE=∠EAC，即AE平分∠MAC；
    （2）成立．小颖的方法是应用折叠对称的性质和SAS得到△AEF≌△AEC，在Rt△DFE中应用勾股定理而证明；小亮的方法是将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACG，根据旋转的性质用SAS得到△ADE≌△AGE，从而在Rt△CEG中应用勾股定理而证明．
    （3）成立．小颖的方法是应用折叠对称的性质和SAS得到△AEF≌△AEC，在Rt△DFE中应用勾股定理而证明；小亮的方法是将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACG，根据旋转的性质用SAS得到△ACE≌△ACG，从而在Rt△CEG中应用勾股定理而证明．当135°＜α＜180°时，等量关系BD2+CE2=DE2仍然成立．可以根据小颖和小亮的方法进行证明即可．

    解答 （1）证明：如图1，∵∠BAC=90°，
    ∴∠BAD+∠DAM+∠MAE+∠EAC=90°．
    ∵∠DAE=45°，
    ∴∠BAD+∠EAC=45°．
    ∵∠BAD=∠DAM，
    ∴∠BAD+∠EAC=∠DAM+∠EAC=45°，
    ∴∠BAD+∠MAE=∠DAM+∠EAC，
    ∴∠MAE=∠EAC，即AE平分∠MAC；

    （2）选择小颖的方法．
    证明：如图2，连接EF．
    由折叠可知，∠BAD=∠FAD，AB=AF，BD=DF，
    ∵∠BAD=∠FAD，
    ∴由（1）可知，∠CAE=∠FAE．
    在△AEF和△AEC中，
    $\left\{\begin{array}{l}{AF=AC}\\{∠FAE=∠CAE}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
    ∴△AEF≌△AEC（SAS），
    ∴CE=FE，∠AFE=∠C=45°．
    ∴∠DFE=∠AFD+∠AFE=90°．
    在Rt△DFE中，DF2+FE2=DE2，
    ∴BD2+CE2=DE2．       
    选择小亮的方法，
    证明：∵将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACG，
    ∴△ADB≌△AGC，
    ∴∠B=∠ACG=45°，AD=AG，BD=CG，
    ∵∠BAC=∠DAG=90°，∠DAE=45°，
    ∴∠EAG=45°，
    在△DAE和△GAE中，
    $\left\{\begin{array}{l}{AD=AG}\\{∠DAE=∠GAE}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
    ∴△DAE≌△GAE（SAS），
    ∴DE=EG，
    ∵∠ACB=90°，
    ∴∠ECG=∠ACB+∠ACG=45°+45°=90°μ，
    ∴△ECG是直角三角形，
    ∴CG2+CE2=EG2，
    即BD2+CE2=DE2；
    （3）当135°＜α＜180°时，等量关系BD2+CE2=DE2仍然成立．证明如下：
     如图4，按小颖的方法作图，设AB与EF相交于点G．
    ∵将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF，
    ∴AF=AB，∠AFD=∠ABD=135°，∠BAD=∠FAD．
    又∵AC=AB，∴AF=AC．
    又∵∠CAE=90°-∠BAE=90°-（45°-∠BAD）=45°+∠BAD=45°+∠FAD=∠FAE．
    ∴∠CAE=∠FAE．
    在△AEF和△AEC中，
    ∵$\left\{\begin{array}{l}{AF=AC}\\{∠FAE=∠CAE}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
    ∴△AEF≌△AEC（SAS），
    ∴CE=FE，∠AFE=∠C=45°．
    ∴∠DFE=∠AFD-∠AFE=∠135°-∠C=135°-45°=90°．
    ∴∠DFE=90°．
    在Rt△DFE中，DF2+FE2=DE2，
    ∴BD2+CE2=DE2

    点评 本题考查了几何变换综合性题目，用到的知识点有角平分线的定义，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，折叠对称的性质，全等三角形的判定和性质等，题目的综合性较强，难度较大，正确做出图形的辅助线是解题的关键．

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    8．阅读下列材料：
        2015年秋冬之际，北京持续多天的雾霾让环保成为人们关注的焦点，为了身心健康，人们纷纷来京郊旅游．门头沟地处北京西南部，山青水秀，风景如画，静谧清幽．爨底下、潭柘寺、珍珠湖、百花山、灵山、妙峰山、龙门涧等众多景点受到广大旅游爱好者的青睐．
        据统计，2015年门头沟游客接待总量为22.1万人次．其中潭柘寺的玉兰花和戒台寺的祈福受到了游客的热捧，两地游客接待量分别达3.8万人次、2.175万人次；爨底下和百花山因其文化底蕴深厚和满园春色也成为游客的重要目的地，游客接待量分别为2.6万人次和1.76万人次；妙峰山樱桃园的游客密集度较高，达1.8万人次．
        2014年门头沟游客接待总量约为20万人次．其中，潭柘寺游客接待量比2013年增加了25%；百花山游客接待量为2.62万人次，比2013年增加了0.4万人次；妙峰山樱桃园的大樱桃采摘更是受到广大游客的喜爱，接待量为2.2万人次．
        2013年，潭柘寺、双龙峡、妙峰山樱桃园游客接待量分别为3.2万人次、1.3万人次和1.49万人次．
    根据以上材料回答下列问题：
    （1）2014年，潭柘寺的游客接待量为4万人次；
    （2）选择统计表或统计图，将2013-2015年潭柘寺、百花山和妙峰山樱桃园的游客接待量表示出来；
    （3）根据以上信息，预估2016年门头沟游客接待总量约为24.4205万人次，你的预估理由是2015年游客接待总量增长百分率为10.5%，估计2016年游客接待总量增长百分率也大约为10.5%．

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    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    15．阅读下列材料：
    日前，微信发布《2016微信春节大数据报告》显示，2016年除夕当日，利用微信传递春节祝福的音视频通话时长达4.2亿分钟，是2015年除夕的4倍，“红包不要停”成为春节期间最热门微信表情，其作者共获得124508元的“赞赏”．
    报告显示，除夕当日，微信红包的参与者达4.2亿人，收发总量达80.8亿个，是2015年除夕的8倍．除了通常的定额红包、拼手气红包，除夕到初一期间，微信还推出可以添加照片的拜年红包、引爆朋友圈的红包照片，以及和诸多品牌商家联合推出的摇一摇红包．其中，在除夕当日拼手气红包的收发量约为微信红包收发总量的20%．
    作为一款“国民社交平台”，微信在春节通过红包激活了用户的使用热情，用音视频通话、朋友圈、微信群等串联起了五湖四海的情感，实现了科技与人文的交汇，成为“过好春节”的标配．
    根据以上材料回答下列问题：
    （1）2016年除夕当日，拼手气红包收发量约为16.16亿个；
    （2）选择统计表或统计图将2015年和2016年除夕当日微信红包收发总量和音视频的通话时长表示出来．

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