Question

21、已知，如图，?ABCD中，BE，CF分别是∠ABC和∠BCD的一平分线，BE，CF相交于点O．
（1）求证：BE⊥CF；
（2）试判断AF与DE有何数量关系，并说明理由；
（3）当△BOC为等腰直角三角形时，四边形ABCD是何特殊四边形？
（直接写出答案）

Answer 1

分析：（1）平行四边形中邻角互补，且BE、CF分别为一组邻角的平分线，所以BE和CF垂直．
（2）在三角形AEB中，因为BE为平分线，AD和BC平行，所以可得∠ABE=∠AEB，即AB=AE，同理，DF=DC，所以AF=DE．
（3）当△BOC为等腰直角三角形时，即∠BOC=90°，由题可知，∠ABC=∠BCD=90°，有一个角是直角的平行四边形为矩形．

解答：证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD
∴∠ABC+∠BCD=180°（1分）
又∵BE，CF分别是∠ABC，∠BCD的平分线
∴∠EBC+∠FCB=90°
∴∠BOC=90°
故BE⊥CF（3分）

（2）AF=DE
理由如下：
∵AD∥BC
∴∠AEB=∠CBE
又∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠ABE=∠CBE
∴∠AEB=∠ABE
∴AB=AE
同理CD=DF（5分）
又∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD
∴AE=DF
∴AF=DE（6分）

（3）当△BOC为等腰直角三角形时四边形ABCD是矩形．（8分）

点评：此题主要考查了平行四边形的性质以及矩形的判定，难易程度适中．