Question

 初始问题：如图1，已知两个同心圆，直线AD分别交大⊙O于点A、D，交小⊙O于点B、C．
AB与CD相等吗？请证明你的结论．
类比研究：如图2，若两个等边三角形ABC和A₁ B₁ C₁的中心（点O）相同，且满足AB∥A₁B₁，BC∥B₁C₁，AC∥A₁C₁，可知AB与A₁B₁，BC与B₁C₁，AC与A₁C₁之间的距离相等．
直线MQ分别交三角形的边于点M、N、P、Q，与AB所成夹角为∠α（30°＜∠α＜90°）．
（1）求

MN

PQ

（用含∠α的式子表示）；
（2）求∠α等于多少度时，MN=PQ．

Answer 1

分析：【初始问题】作OE⊥AD于E，根据题意即可推出AE=ED，BE=EC，根据等式的性质推出AE-BE=ED-EC，可得AB=CD，
【类比研究】（1）如图，作ND⊥AB于D，PE⊥AC于E，由AB∥A₁B₁，可得∠1=∠α，根据等边三角形的性质即可推出∠2=120°-∠1=120°-∠α，由AC∥A₁C₁，推出∠PQE=∠2=120°-∠α，根据30°＜∠α＜90°，结合不等式的性质即可推出30°＜120°-∠α＜90°，然后根据Rt△MDN和Rt△QEP，结合锐角三角函数的性质推出DN=MN•sin∠α，PE=PQ•sin（120°-∠α），通过计算即可推出

MN

PQ

=

sin(120°-∠α)

sin∠α

，（2）当120°-∠α=∠α时，即∠α=60°时，MN=PQ．

解答：解：【初始问题】结论：AB=CD，
证明：如图，作OE⊥AD于E，
∴AE=ED，BE=EC，
∴AE-BE=ED-EC，
即 AB=CD，

【类比研究】（1）如图，作ND⊥AB于D，PE⊥AC于E，
则 ND=PE，
∵AB∥A₁B₁，
∴∠1=∠α，
∵等边三角形A₁ B₁ C₁中，∠A₁=60°，
∴∠2=120°-∠1=120°-∠α，
∵AC∥A₁C₁，
∴∠PQE=∠2=120°-∠α，
∵30°＜∠α＜90°，
∴30°＜120°-∠α＜90°，
∴在Rt△MDN和Rt△QEP中，
DN=MN•sin∠α，PE=PQ•sin（120°-∠α），
∴MN•sin∠α=PQ•sin（120°-∠α），
∴

MN

PQ

=

sin(120°-∠α)

sin∠α

，

（2）当120°-∠α=∠α时，即∠α=60°时，MN=PQ．

点评：本题主要考查垂径定理，等边三角形的性质，锐角三角函数值等知识点，关键在于综合熟练的运用各相关的性质定理，认真的进行计算．