Question

已知：抛物线y=x²+（b-1）x+c经过点P（-1，-2b）．
（1）求b+c的值；
（2）若b=3，求这条抛物线的顶点坐标；
（3）若b＞3，过点P作直线PA⊥y轴，交y轴于点A，交抛物线于另一点B，且BP=2PA，求这条抛物线所对应的二次函数关系式．（提示：请画示意图思考）

Answer 1

分析：（1）因为抛物线y=x²+（b-1）x+c经过点P（-1，-2b），所以将点P代入解析式即可求得；
（2）因为b=3，所以求得c的值，即可求得抛物线的解析式，然后利用配方法求出顶点坐标；
（3）解此题的关键是首先确定函数的草图，即开口方向是向上，对称轴为x=-

b-1

2

＜-1，在y轴的左侧，根据题意确定点B的坐标；因为点P与点B关于对称轴对称，所以确定对称轴方程，从而求得b、c的值，求得函数解析式．

解答：解：（1）依题意得：（-1）²+（b-1）（-1）+c=-2b，
∴b+c=-2．

（2）当b=3时，c=-5，
∴y=x²+2x-5=（x+1）²-6，
∴抛物线的顶点坐标是（-1，-6）．

（3）当b＞3时，抛物线对称轴x=-

b-1

2

＜-1
∴对称轴在点P的左侧
因为抛物线是轴对称图形，P（-1，-2b）且BP=2PA
∴B（-3，-2b） 
∴-

b-1

2

=-2，
∴b=5 
又∵b+c=-2，
∴c=-7 
∴抛物线所对应的二次函数关系式为y=x²+4x-7．
解法2：当b＞3时，-b＜-3，1-b＜-2，则x=-

b-1

2

=

1-b

2

＜-1，
∴对称轴在点P的左侧，因为抛物线是轴对称图形
∵P（-1，-2b），且BP=2PA，
∴B（-3，-2b） 
∴（-3）²-3（b-1）+c=-2b
又∵b+c=-2，
解得b=5，c=-7
这条抛物对应的二次函数关系式为y=x²+4x-7．
解法3：（3）∵b+c=-2，
∴c=-b-2
∴y=x²+（b-1）x-b-2
BP∥x轴，
∴x²+（b-1）x-b-2=-2b
即x²+（b-1）x+b-2=0
解得：x₁=-1，x₂=-（b-2），即x_B=-（b-2）
由BP=2PA，
∴-1+（b-2）=2×1
∴b=5，c=-7 
∴抛物线所对应的二次函数关系式为y=x²+4x-7．

点评：此题考查了待定系数法求函数的解析式，考查了二次函数的对称性，解题的关键是要注意数形结合思想的应用．