Question

如图，在菱形ABCD中，AB：AC=m：n，点P为BC边上一点，以AP为对角线作菱形AFPM，满足∠ABC=∠AFP，连结BF，猜想BF与CP的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

考点：菱形的性质,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：由菱形ABCD和菱形AFPM，得出BA=BC，FA=FP，根据三角形的内角和求得∠BAC=∠FAP，证得△FAP∽△BAC，进一步证得△FAB∽△PAC，找出线段AB、AC、BF、CP之间的关系得出结论即可．

解答：BF=

m

n

CP．
证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴BA=BC，
∴∠BAC=

1

2

（180°-∠ABC），
∵四边形AFPM为菱形，
∴FA=FP，
∴∠FAP=

1

2

（180°-∠AFP），
∵∠ABC=∠AFP，
∴∠BAC=∠FAP，
∴△FAP∽△BAC；
∴

AF

AB

=

AP

AC

，
即

AF

AP

=

AB

AC

，
∵∠FAB=∠FAP-∠BAP，∠PAC=∠BAC-∠BAP，
∴∠FAP=∠PAC，
∴△FAB∽△PAC；
∴

BF

CP

=

AB

AC

=

m

n

，
即BF=

m

n

CP．

点评：此题考查菱形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和，三角形相似的判定与性质，注意掌握三角形相似的判定方法．