Question

如图1，矩形CEFG的一边落在矩形ABCD的一边上，并且矩形CEFG～CDAB，其相似比为k，连接BG、DE．

（1）试探究BG、DE的位置关系，并说明理由；
（2）将矩形CEFG绕着点C按顺时针（或逆时针）旋转任意角度α，得到图形2、图形3，请你通过观察、分析、判断（1）中得到的结论是否能成立，并选取图2证明你的判断；
（3）在（2）中，矩形CEFG绕着点C旋转过程中，连接BD、BF、DF，且k=，AB=8，BC=4，△BDF的面积是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由矩形CEFG～矩形CDAB可以得出∠BCD=∠DCE=90°，，从而可以得到△BCG∽△DCE，再利用角相等通过代换就可以得出结论；
（2）由条件可以得出证明△BCG∽△DCE，再利用角相等通过代换就可以得出结论；
（3）矩形CEFG绕着点C旋转一周，点F的轨迹是以点C为圆心以为半径的圆，所以△BDF的BD边上的高就是点F到BD的距离，也就是BD到圆上的点的距离，有最大值和最小值，最大值为点C到BD的距离与圆的半径的和，最小值为点C到BD的距离与圆的半径的差，再利用三角形的面积公式求解即可．
解答：解：（1）BG⊥DE，理由如下：
如图1，∵矩形CEFG～矩形CDAB，
∴∠BCD=∠DCE=90°，，
∴△BCG∽△DCE，
∴∠CBG=∠CDE．
延长BG交DE于M．
又∵∠CGB=∠DGM，
∴∠BCG=∠DMG=90°，
∴BG⊥DE；

（2）BG⊥DE仍然成立，理由如下：
如图2，∵矩形CEFG～矩形CDAB，
∴∠BCD=∠GCE=90°，，
∴∠BCG=∠DCE，
∴△BCG∽△DCE，
∴∠CBG=∠CDE，
又∵∠BHC=∠DHO，∠CBG+∠BHC=90°，
∴∠CDE+∠DHO=90°，
∴∠DOH=90°，
∴BG⊥DE；

（3）△BDF的面积是否存在最大值与最小值．理由如下：
∵矩形CEFG～CDAB，其相似比k=，BD==4，
∴CF=，
∴点F的轨迹是以点C为圆心，为半径的圆．
设点C到BD的距离为h，
∴4h=8×4，
解得h=，
∴当点F到BD的距离为+=时，△BDF的面积有最大值，
当点F到BD的距离为-=时，△BDF的面积有最小值，
S_最大=×4×=26，
S_最小═×4×=6．
点评：本题主要考查了旋转的性质，相似多边形的性质，相似三角形的判定与性质，圆上的点到直线的距离的取值范围，综合性较强，有一定难度．