Question

16．已知方程x²+3x-1=0的两根实数根为α，β，不解方程，求下列各式的值
（1）α²+β²；
（2）α³β+αβ³；
（3）$\frac{β}{α}$+$\frac{α}{β}$；
（4）（α-1）（β-1）

Answer 1

分析 先根据根与系数的关系得到α+β=-3，αβ=-1，利用代数式变形得α²+β²=（α+β）²-2αβ，α³β+αβ³=αβ（α²+β²），$\frac{β}{α}$+$\frac{α}{β}$=$\frac{{α}^{2}+{β}^{2}}{αβ}$，（α-1）（β-1）=αβ-（α+β）+1，然后利用整体代入的方法计算．

解答 解：根据题意得α+β=-3，αβ=-1，
（1）α²+β²=（α+β）²-2αβ=（-3）²-2×（-1）=11；
（2）α³β+αβ³=αβ（α²+β²）=-1×11=-11；
（3）$\frac{β}{α}$+$\frac{α}{β}$=$\frac{{α}^{2}+{β}^{2}}{αβ}$=$\frac{11}{-1}$=-11；
（4）（α-1）（β-1）=αβ-（α+β）+1=-1+3+1=3．

点评 本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．