Question

在数学中，为了简便，记

n

k=1

k=1+2+3+…+(n-1)+n，

n

k=1

(x+k)=（x+1）+（x+2）+…+（x+n）
（1）请你用以上记法表示：1+2+3+…+2008=

 

；
（2）化简：

10

k=1

(x-k)

 

；
（3）

3

k=1

[(x-k)(x-k-1)]=

 

；
（4）

2008

k=1

(x-k)2-

2007

k=1

(x-k)2-20082=

 

．

Answer 1

分析：（1）根据题意，令n=2008，代入

n

k=1

k=1+2+3+…+(n-1)+n，即可得到结果；
（2）根据题意总结规律

n

k=1

(x-k)=（x-1）+（x-2）+…+（x-n），令n=10代入，去括号合并即可得出结果；
（3）根据总结的规律，令k=1，2，3分别代入（x-k）（x-k-1）中，并把求出三个式子相加，利用多项式的乘法法则化简，合并同类项后即可得到最后结果；
（4）根据题意总结规律

n

k=1

(x-k)2=（x-1）²+（x-2）²+（x-3）²+…+（x-n）²，然后令n=2008及2007分别表示出

2008

k=1

(x-k)2和

2007

k=1

(x-k)2，代入所求的式子中，去括号合并后，利用完全平方公式化简即可得到结果．

解答：解：（1）根据

n

k=1

k=1+2+3+…+(n-1)+n，
令n=2008，得到1+2+3+…+2008=

2008

k=1

k；
（2）根据题意得：

10

k=1

(x-k)=（x-1）+（x-2）+（x-3）+…+（x-10）
=10x-（1+2+3+…+10）=10x-

10(1+10)

2

=10x-55；
（3）根据题意得：

3

k=1

[(x-k)(x-k-1)]=（x-1）（x-2）+（x-2）（x-3）+（x-3）（x-4）
=x²-3x+2+x²-5x+6+x²-7x+12=3x²-15x+20；
（4）根据题意得：

2008

k=1

(x-k)2-

2007

k=1

(x-k)2-20082=（x-1）²+（x-2）²+（x-3）²+…+（x-2007）²+（x-2008）²-[（x-1）²+（x-2）²+（x-3）²+…+（x-2007）²]-2008²
=（x-2008）²-2008²=x²-4016x+2008²-2008²=x²-4016x．
故答案为：

2008

k=1

k；10x-55；3x²-15x+20；x²-4016x

点评：此题考查了整式的混合运算，以及新定义．此题培养了学生发现问题，分析问题的能力，以及归纳总结的能力．认真观察题中的新定义，得出相应的一般性的规律是解本题的关键．