Question

【题目】如图1，小明用1张边长为的正方形，2张边长为的正方形，3张边长分别为的长方形纸片拼成一个长为，宽为的长方形，它的面积为，于是，我们可以得到等式

请解答下列问题：

（1）根据图2，写出一个代数恒等式；

（2）利用（1）中所得的结论，解决下面的问题：已知，求的值．

（3）小明又用4张边长为的正方形，3张边长为的正方形，8张边长分别为的长方形纸片拼出一个长方形，那么该长方形的长为__________，宽为__________；

Answer 1

【答案】（1）；（2）30；（3）或；或

【解析】

（1）先从整体表达出正方形的总面积：，各个小的矩形的面积之和为：，总的正方形的面积等于各个小的矩形面积之和，即可得出答案；

（2）利用（1）中所得的结论和已知条件：，进行整体运算即可得到结果；

（3）根据题意可知拼出的长方形的总面积为：，再用因式分解法即可求出答案.

（1）根据总的正方形的面积等于各个小的矩形面积之和可得：

；

（2）由（1）可知：

将代入上式，

可得：，

则，

故；

（3）根据题意可知拼出的长方形的总面积为：，

根据因式分解法可得：

，

故根据几何意义可得：

该长方形的长为或，宽为或.